Rotman del ejercicio 2.8 "$S_n$ no puede ser incrustada en $A_{n+1}$"

Question

Esta pregunta es acerca de la (in)famoso Rotman del ejercicio 2.8 en "Una Introducción a la Teoría de Grupos." He buscado y encontrado similares preguntas aquí y en el MO, pero ninguno de ellos contiene una prueba válida. (¿$S_n$ pertenecer como un subgrupo de $A_{2n+1}$?)

De acuerdo a Rotman, una prueba válida sólo pueden utilizar los conceptos introducidos a este ejercicio: ciclo de permutaciones, de la factorización de permutaciones pares e impares permutaciones, semigroups, grupos, homomorphism y subgrupos. Cosets, del teorema de Lagrange, subgrupos normales y no se ha introducido. Hago hincapié en este punto porque todas las pruebas a las que me he visto el uso de Lagrange o acciones, en cosets.

Ahora mi intención es utilizar el ejercicio 2.7 (solucionado), que es acerca de una prueba de que $A_n$ ($n>2$) es generada por todos los $3$-ciclos y ejercicio 2.4 (solucionado) "si $S$ es un buen subgrupo de $G$, entonces $\langle G \setminus S\rangle=G$" de esta manera:

Supongamos que por cada $\phi : S_n \A_{n+1}$ imbeddings, todos los $ 3$-ciclos están contenidas en $\operatorname{Im}\phi $, entonces la afirmación se demuestra por el absurdo. Pero no puedo encontrar una manera de probar si es posible o encontrar un contraejemplo para este tipo de enfoque.

Si alguien tiene otra prueba de que el uso de sólo los conceptos básicos es bien aceptado por supuesto, pero principalmente necesitamos algunos consejos acerca de la exactitud o no de mi razonamiento y cómo proceder si es correcto. Gracias de antemano.

Answer 1

No estoy seguro exactamente lo que yo soy se les permite usar o lo que Rotman tenía en mente, pero creo que este enfoque no utiliza más el grupo de teoría de la (única) de la factorización de permutaciones y la idea básica de lo que es un homomorphism es.

Si $n$ es impar, existe un subconjunto $S\subconjunto S_n$ de pares de desplazamientos de los elementos de orden $2$ con $|S|=\tfrac{n-1}{2}$. Por ejemplo $$\{(1\ 2),(3\ 4),\ldots,(n-2\ n-1)\}.$$ Un elemento $\sigma\A_{n+1}$ de pedido de $2$ es necesariamente un producto de un número par de disjuntas $2$-ciclos. Por lo tanto, un subconjunto $A\subconjunto A_{n+1}$ de pares de desplazamientos de los elementos de orden $2$ no puede contener más de $\tfrac{n+1}{4}$ elementos. Por lo tanto, de una incrustación $S_n\ \hookrightarrow\ A_{n+1}$ existir debemos tener $$\frac{n-1}{2}\leq\frac{n+1}{4},$$ o, equivalentemente, $n\leq3$. En este punto no debería ser difícil para comprobar que $S_3$ no incrusta en $A_4$, y por supuesto que $S_1$ no incrustar en $A_2$.

Un argumento similar se puede hacer cuando $n$ es, incluso, para encontrar que para una incrustación de $S_n\ \hookrightarrow\ A_{n+1}$ existir debemos tener $$\frac{n}{2}<\frac{n+1}{4},$$ o lo que es equivalente a $n<1$, inmediatamente produciendo una contradicción.