Se supone que debo calcular el límite siguiente:
ps
Busco un enfoque razonable en este caso, si es posible. Gracias.
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Método de Laplace rendimientos $$ \ frac {\ sqrt n} {\ sqrt {2} ^ {n}} \ int_ {0} ^ {\ pi / 2} (\ sen x \ cos x) ^ n \ mathrm dx = \ int _ {- \ pi \ sqrt {n} / 4} ^ {\ pi \ sqrt {n} / 4} \ left (\ cos (t / \ sqrt {n}) \ right) ^ n \ mathrm dt \ a \ int _ {- \ infty} ^ { \ infty} \ mathrm e ^ {- t ^ 2/2} \ mathrm dt = \ sqrt {2 \ pi}. $$
larryb82
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Desde$\sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin (x+\pi/4)$ tenemos$$ \frac{\sqrt{n}}{ \sqrt{2}^n }\int^{\pi/2}_0 (\sin x+ \cos x)^n dx = \sqrt{n} \int^{3\pi/4}_{\pi/4} \sin^n x dx. $ $
Desde$\int^{\pi/4}_0\sin^n x dx \leq \frac{\pi}{4} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^n \to 0$ nuestro límite es el mismo que el límite de$$2\sqrt{n} \int^{\pi/2}_0 \sin^n x dx.$ $
La integral se puede evaluar mediante la integración por partes o la conversión en una función Beta, y la aproximación de Stirling muestra el límite es$\sqrt{2\pi}.$
