La solución de una ecuación algebraica

Question

Estoy para resolver la ecuación siguiente orden tercera ecuación

$x^3+x^2+x+1=0$

Lo que he probado hasta ahora es escribir la ecuación como

$ x \cdot (x^2+x+1)+1=0$

pero eso no conducía a ninguna parte. ¿Cómo puedo solucionar esto sin usar un ordenador?

Answer 1

Aquí hay otra manera: la suma de las series geométricas, obtenemos$$(x^3+x^2+x+1)(x-1)=x^4-1$ $ Las raíces de$x^4-1$ son$\pm 1$ y$\pm i$, por lo que las raíces de$x^3+x^2+x+1$ son$-1, i, -i$.

Answer 2

Factor de agrupación: $$ x ^ 3 x ^ 2 x 1 = x ^ 2 (x 1) (x 1) = (x 1) (x ^ 2 1) = 0. $$ Entonces$x + 1 = 0$ da$x = -1$ y$x^2 + 1 = 0$ da$x = \pm i$ (suponiendo que desea resolver sobre los números complejos.

Answer 3

Dos métodos para encontrar una raíz: (se puede confirmar una raíz real existe, por el racional teorema de la raíz).

$$x^3+x^2+x+1=0$$

1. Podemos reconocer que las $x = -1$ es un cero mediante el uso de una comprobación rápida en $x = \pm 1$ (de nuevo, por el racional de la raíz teorema, esos son posibles ceros). Sabemos que desde $x = -1$ es un cero, $(x - (-1)) = (x + 1)$ es un factor, y simplemente tenemos que usar el polinomio de la división larga para obtener el resto de factor de $(x^2 + 1)$.

2. Podemos "grupo" de la ecuación de la siguiente manera: $$x^3+x^2+x+1=0 \iff x^2(x + 1) + (x + 1) = (x+1)(x^2 + 1) = 0$$

Finalmente, sabemos que el resto de factor en $(x+1)(x^2 + 1)=0$, es decir, $(x^2 + 1),\;$ no tiene ninguna raíz real (y, por tanto, no puede ser factorizada) mediante la evaluación de la discriminante $$\Delta = b^2 - 4ac = 0 - 4 = -4 < 0$$

(Recordemos que el discriminante de una ecuación cuadrática $ax^2 + bx + c = 0$ está dado por la $\color{blue}{\bf radicand}$ de la fórmula cuadrática $$\frac{-b \pm \sqrt{\color{blue}{\bf b^2 - 4ac}}}{2a}$$

Answer 4

Se podría utilizar el algoritmo de división de factorizar$x^3+x^2+x+1$ una vez que reconocen que$x=-1$ es root.

Answer 5

Usted puede mover las cosas para obtener un término distinto de cero en el lado derecho, luego se divide.

$x^3+x^2+x+1=0$

$x^2+1=-x^3-x$

$x^2+1=-1*(x^3+x)$

Ahora divida y el factor:

$$\dfrac{x^2+1}{x^3+x}=-1$$

$$\implies \dfrac{x^2+1}{x*(x^2+1)}=-1$$

$$\implies \dfrac{1}{x}=-1$$

$$\implies 1=-x$$

$$ \implies x=-1$$

He aquí cómo lo he descubierto: al mirar la ecuación, podemos ver que estamos añadiendo un término positivo, $(1)$ a un montón de cosas en términos de $x$ para obtener algo menos de $1\text{ (0)}$. Así que sabemos que algunos de esos términos tiene que ser distinto de cero y negativos. Por lo tanto, $x$ debe ser negativo. A continuación, $x^3$ es negativo y $x^2$ es positivo. Me decidí a probar y mover las cosas de modo que ambos lados de la ecuación fueron un valor positivo, y obtuvo los resultados anteriores.