En algunos contextos, un juego que se llama un cerrado juego. Para entender la terminología, vamos I y II denotan dos jugadores, y supongamos que los jugadores alternan de forma indefinida elementos de juegos de $m$ a partir de algunos de $M$ de los posibles movimientos.
Si nos imaginamos que el juego es jugado por una infinidad de movimientos, obtenemos una secuencia infinita de movimientos $(m_1,m_2,m_3,\ldots)$. Deje $M^{\mathbb{N}}$ denotar el espacio de dichas secuencias.
Este espacio $M^{\mathbb{N}}$ tiene un natural de la topología, es decir, el producto de la discreta topologías en $M$. Supongamos que la rentabilidad (set de mover las secuencias que cuentan como un "triunfo") para el jugador I es cerrado en esta topología. Esto significa que siempre que el jugador que pierde, es porque él o ella cometió un error (por ejemplo, contar el secreto, en tu ejemplo) en algún finito etapa del juego, o porque el juego era simplemente imposible de ganar. Por otro lado, si el jugador que gana es porque él o ella por siempre ha evitado cometer errores.
Me estoy estirando su ejemplo aquí por el supuesto de que los jugadores son inmortales, en cuyo caso la única forma de ganar es por mantener el secreto, literalmente, para siempre.
En esta situación, el juego es "más" cuando infinitamente han pasado muchos años. Creo que este es el más interesante interpretación de la cuestión; de lo contrario, uno podría considerar simplemente "tomar el secreto a la tumba" como uno de los posibles movimientos de $m \in M$, y este movimiento tiene la propiedad de que en el juego se traduce en una inmediata ganar para el jugador I, que no es muy interesante.
Los siguientes párrafos, no abordan directamente la cuestión, sino que ayudan a explicar por qué algunas personas (por ejemplo, establecer teóricos) considerar cerrado los juegos a ser interesante:
Una característica interesante de cerrado de juegos (en relación a infinito de los juegos en general) es
que son determinadas. Esto se conoce como la Gale–teorema de Stewart. Decir que un juego es determinado significa que un jugador o el otro tiene una ganancia de estrategia que prescribe la mueve a hacer en cualquier situación dada con el fin de ganar. Si el jugador I (el jugador con el cerrado de la rentabilidad conjunto) tiene una estrategia ganadora, que la estrategia puede ser descrito simplemente como "no cometer errores", donde un error se define como un movimiento después de que el jugador II puede forzar una victoria en un número finito de movimientos.
El caso más interesante de la Gale–Stewart es el teorema de cuando jugador que no tiene una estrategia ganadora.
Si el conjunto de $M$ de movimientos es finito, como en el ajedrez, la falta de una estrategia ganadora para el jugador I significa que hay algunos fijos número finito $n$ tal que el jugador II puede forzar una victoria en $n$ se mueve (por ejemplo, tal vez la posición de partida en el ajedrez es un compañero en el 73 se mueve por el negro, aunque esto parece muy poco probable.) A continuación, una estrategia ganadora para el jugador II continúa por siempre jugando para reducir este número (por ejemplo, compañero en el 72, a continuación, en el siguiente movimiento compañero en el 71, y así sucesivamente hasta que él o ella inevitablemente gana.)
Por otro lado, si el conjunto de movimientos es infinito, la construcción de una estrategia ganadora para el jugador II en el caso de que el jugador que no tiene estrategia ganadora es más complicado e implica transfinito ordinales. El problema es que, por ejemplo, si los movimientos posibles para el jugador I se $m_1,m_2,m_3,\ldots,$ podría ser que la fabricación de cualquiera de estos movimientos conduce a una victoria para el jugador II, pero haciendo mover $m_i$ permite jugador que sobrevivir por $i$ muchos movimientos, así que no se hubiera fijado un límite superior en cuánto tiempo se tarda jugador II para ganar. En este caso nos gustaría tener la supremum y decir que el jugador II puede forzar una victoria en $\omega$ se mueve. Por siempre la elección de movimientos que la disminución de este ordinal rango, el jugador II siempre gana, porque no es infinito disminución de la secuencia de los números ordinales.
