Dimensión proyectiva específica de un módulo sobre un carcaj limitado

Question

Supongamos que $K$ es un campo algebraicamente cerrado, y $A$ es el álgebra presentada por el carcaj $$\require{AMScd} \begin{CD} 1 @>>> 2\\ @V{}VV @V{}VV \\ 3 @>>> 4 @>>> 5 \end{CD} $$ con la ayuda de $1\to 2\to 4 = 1\to3\to 4$ y $3\to4\to5 = 0$ .

¿Cuál es la dimensión proyectiva del simple $A$ -Módulo $S(1)$ ?

He aquí mi trabajo: los indecomponibles proyectivos tienen retículos de submódulos indicados por los siguientes diagramas de Alperin: $$\begin{array}{c@{}c@{}c@{}c@{}c} \newcommand{\kem}{\kern-1ex} \kem&\kem&\kem\kem1\kem&\kem&\kem \\ \kem&\kem\nearrow\kem&\kem&\kem\nwarrow\kem&\kem \\ 2\kem&\kem&\kem&\kem&\kem3 \\ \kem&\kem\nwarrow\kem&\kem&\kem\nearrow\kem&\kem \\ \kem&\kem&\kem\kem4\kem&\kem&\kem \end{array} \qquad \begin{array}{c} 2 \\ \uparrow \\ 4 \\ \uparrow \\ 5 \end{array} \qquad \begin{array}{c} 3 \\ \uparrow \\ 4 \\ \phantom{\uparrow} \\ \phantom{5}\end{array} \qquad \begin{array}{c} 4 \\ \uparrow \\ 5 \\ \phantom{\uparrow} \\ \phantom{5}\end{array} \qquad \begin{array}{c} 5 \\ \phantom{\uparrow} \\ \phantom{4} \\ \phantom{\uparrow} \\ \phantom{5}\end{array} $$

La cubierta proyectiva de $S(1)$ es $P(1)$ y el núcleo es el operador de Heller de $S(1)$ , a saber $$\begin{array}{c@{}c@{}c@{}c@{}c} \newcommand{\kem}{\kern-1ex} 2\kem&\kem&\kem&\kem&\kem3 \\ &\kem\nwarrow\kem&\kem&\kem\nearrow\kem&\\ &\kem&\kem\kem4\kem&\kem& \end{array} $$ con $P(2) \oplus P(3)$ su cubierta proyectiva.

Ahora el problema es encontrar el segundo operador de Heller $\Omega^2(S(1))$ . Sus factores de composición son claros: $S(4)$ y $S(5)$ pero ¿cómo sabemos si es $S(4) \oplus S(5)$ frente a $P(4) = \begin{array}{c} 4 \\ \uparrow \\ 5 \end{array}$ ?

En el primer caso, la siguiente cubierta proyectiva es $P(5) = S(5)$ y la resolución termina con la dimensión proyectiva 3, pero en este último caso la resolución termina inmediatamente con la dimensión proyectiva 2.

El primer caso "utiliza" los 4 de $P(2)$ saliendo de $S(5)$ de $P(2)$ y $S(4)$ de $P(3)$ . Este último caso "utiliza" los 4 de $P(3)$ Dejando el resto de $P(4)$ de $P(3)$ . Ninguno de los dos es realmente el núcleo, ya que es una especie de submódulo "diagonal", pero ¿cómo sabemos si el submódulo diagonal está dividido o no?

¿Depende la respuesta del ámbito?

Answer 1

Hasta donde yo sé, el campo no debería importar, a menos que tu álgebra tenga "relaciones raras", y en la mayoría de los casos, estás bastante seguro mientras la característica de $k$ no es 2. Espero que alguien pueda dar alguna respuesta complementaria aquí...

Volviendo a tu ejemplo concreto, (digamos que si trabajamos sobre la característica 0..) la resolución proyectiva (mínima) de $S(1)$ es en realidad: $$ 0\to P(4)\to P(2)\oplus P(3) \to P(1) \to S(1) \to 0 $$ Así que la dimensión proyectiva es 2. Eplanación:

(1) Escribir explícitamente cuáles son los mapas:

• primer mapa (suryectivo) $ae_1 \mapsto a\overline{e_1}$ , donde $a\in A$ , $e_1$ primitivo idempotente y $\overline{e_1}=e_1+Rad(P(1))$ .
• $\Omega(S(1))=ker(ae_1\mapsto a\overline{e_1}) = k-span\{\alpha,\beta,\gamma\alpha\}$ , donde $\alpha$ es la flecha de 1 a 2, $\beta$ es la flecha de 1 a 3, y $\gamma$ flecha de 2 a 4.
• el siguiente mapa es la cubierta proyectiva de $\Omega(S(1))$ dado por $ae_2 \mapsto a\alpha$ y $ae_3\mapsto a\beta$ .
• Así que $\Omega^2(S(1))=k-span\{\delta-\gamma, \epsilon\gamma\}$ , donde $\delta$ es la flecha $3\to 4$ y $\epsilon$ es $4\to 5$ . Ahora se puede construir un isomorfo a $P(4)$ a través de $ae_4\mapsto a(\delta-\gamma)$ .

(2) Después de practicar lo suficiente, deberías ser capaz de ver que todo se puede hacer combinatoriamente: $\Omega(S(1))$ es el módulo tridimensional con el diagrama de Loewy que ya has dibujado. Bien, puedes ver que viene de "arrancar el radical de $P(1)$ de $P(1)$ ". Se aplica el mismo principio: $\Omega^2(S(1))$ acaba de llegar de "arrancar la parte en $P(2)\oplus P(3)$ que no sea pegar en $M$ sin destruir la estructura de Loewy". Dado que tanto el 2 como el 3 pueden estar encima del 4, entonces hay que "arrancar la mitad del 4 de $P(3)$ y la mitad de los 4 de $P(5)$ y pegarlas de nuevo" (c.f. el mapa escrito explícitamente arriba). Lamento que esto sea vago, pero así es como trabaja la gente que computa en estas álgebras, ¡de verdad!

Por otro lado, creo que "diagramas de Alperin" se refiere a los diagramas utilizados por Alperin, como los que aparecen en su libro "Local representation theory" (puede que me equivoque), esos son realmente diagramas de filtración, que es diferente de lo que has dibujado aquí (diagrama de Loewy). De todos modos, si usas "diagrama de Loewy", la mayoría de la gente debería saber exactamente lo que es, menos ambigüedad.

EDITAR-Corrección: ¡Gracias a Julian y Jack (el OP)! Sí, con "raro" me refiero realmente a situaciones como que los sumandos de las relaciones se reduzcan a cero; o que en el carácter 2, los menos se conviertan en más. Cuando esta situación no se produce, y puesto que estamos trabajando sobre un campo algebraicamente cerrado, las álgebras homológicas no deberían cambiar mucho. Así que este ejemplo concreto es independiente de la característica.