Saltando$f'$ en términos de$f$ y$f''$

Question

Suponga que $f: \mathbb{R} \to [0,\infty)$ $C^2$ $|f''(x)| \leq A$ todos los $x$. Muestran que la desigualdad

$$(f'(x))^2 \le 2Af(x)$$ holds for all $x$.

La sugerencia dada en la pregunta era, "del teorema de Taylor."

Yo había pensado en un principio que el obligado era bastante sencillo, pero me he quedado estancado un poco ahora.

Tengo que centrar mi expansión de Taylor acerca de algún punto de $a$, da

$$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f^{''}(\psi)}{2!}(x-a)^2$$

para algunos $\psi$ en el intervalo de $(x,a)$. El último término es el resto de Lagrange.

A continuación, $$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f^{''}(\psi)}{2!}(x-a)^2$$

$$\le f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{|f^{''}(\psi)|}{2!}(x-a)^2$$

$$\le f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{A}{2!}(x-a)^2$$

$$\implies f(x)-f(a)\le f'(a)(x-a) + \frac{A}{2!}(x-a)^2$$

$$\implies \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\le f'(a) + \frac{A}{2!}(x-a)$$

$$\implies f'(\eta)\le f'(a) + \frac{A}{2!}(x-a)$$ (aplicando el Valor medio Teorema en el lado izquierdo)

y aquí es donde estoy atascado.

Todas las sugerencias son bienvenidas.

Gracias,

Answer 1

Tienes$\frac{A}{2}(x-a)^2+f'(a)\cdot(x-a)+f(a)\geq f(x)\geq 0$ para todos los$x,a\in\mathbb{R}$. Por lo tanto, la ecuación cuadrática$\frac{A}{2}t^2+f'(a)\cdot t+f(a)$ toma sólo valores no negativos para$t\in\mathbb{R}$. Como$A\geq 0$, el discriminante de esta cuadrática es no positivo:$$\big(f'(a)\big)^2-4\left(\frac{A}{2}\right)f(a)\leq 0\,.$ $ Desde$a$ es arbitraria, se obtiene el resultado deseado.

Answer 2

Aquí, un detalle muy importante es que la función es no negativo. Si el valor de $f(x)$ es demasiado bajo y $f'(x)$ tiene un gran valor absoluto, dado que la tasa de crecimiento es limitada en términos de a, la función de $f$ va necesariamente de la diapositiva en la región negativa. En primer lugar, usted tiene que demostrar que para cualquier $a,x\in[0,\infty)$

\begin{equation} f(x)\leq f(a) + f'(a) (x-a) + \frac{A}{2}(x-a)^2=g_a(x), \end{equation}

lo que ya se ha demostrado.

Suponga que $A>0$. Sin pérdida de generalidad $a=0$, de lo contrario hacer un cambio de $x\mapsto x+a$. Ahora, tenga en cuenta que la parábola $g_0$ toma su mínimo en $x_0=-\frac{f'(0)}{A}$. El valor de $g_0$ $x_0$ es

\begin{equation}g_0(x_0)=f(0)-\frac{f'(0)^2}{A}+\frac{f'(0)^2}{2A}, \end{equation} que es cero iff $f(0)=\frac{f'(0)^2}{2A}$, y negativa en el fib $f'(0)^2>2A f(0)$. Desde $f$ mapas en $[0,\infty)$, necesariamente requerimos $f'(0)^2\leq 2A f(0)$.

Como ya he mencionado, con el cambio de $\tilde f_a(x)=f(a+x)$, ahora obtenemos que $\tilde f\ '_a(0)^2\leq 2A \tilde f_a(0)$, lo $f'(a)^2\leq 2A f(a)$ cualquier $a\in \mathbb{R}$.

El caso de $A=0$ es trivial, tenemos una función lineal $f$, lo cual no es negativo si $f'(x)$ es cero.