Hurwitz codificación

Question

En "Matrices Aleatorias y Permutaciones al Azar" por Okounkov dice, "es clásicamente conocido que todos los problemas acerca de la combinatoria de una cubierta tiene una traducción en un problema de permutaciones que surgen de la monodromies alrededor de los puntos de ramificación." Al parecer, este es el llamado "Hurwitz codificación" pero nunca me dieron una explicación clara de cómo funciona.

Me gustaría entender lo que significa para el cubrimiento de la esfera al estar ramificado y cómo identificar sus puntos de ramificación. Quizás debería aprender acerca de cómo monodromy permutaciones son calculadas. También, cómo el ingeniero ramificada cubre los cuales codifican los problemas acerca de la permutación grupo?

Answer 1

Aunque es probable que sólo tangencialmente relacionadas, yo creo que el estudio de los cuadrados de las superficies embaldosadas tiene algo que ver con su pregunta: tales superficies se definen por un conjunto finito de la unidad de cuadrados con las identificaciones de los lados paralelos por las traducciones (bajo la restricción de que la superficie que se obtiene de esta manera está conectado). Tenga en cuenta que la plaza de baldosa superficies están ramificadas corverings del toro (es decir, la unidad estándar de la plaza con la identificación de sus lados horizontal y vertical de las traducciones) y que pueden ser codificados por dos permutaciones de la siguiente manera: después de la numeración arbitrariamente nuestras plazas, se puede formar una permutación h asociando a la i-ésima la plaza de su vecino de la derecha y una permutación v asociando a la i-ésima la plaza de su vecino superior. Por supuesto, la combinatoria de datos (h,v) completamente determinar su superficie y los ciclos del colector [h,v] dar el monodromies alrededor de los puntos de ramificación.

En realidad, este punto de vista fue utilizado por Eskin y Okounkov en su cálculo del volumen de los módulos de espacios de Abelian diferenciales y usted puede encontrar más detalles en su papel.

Answer 2

Lo que significa para el cubrimiento de una esfera a ser ramificada: Vamos a $f:X \to Y$ ser un mapa de superficies de Riemann. Estamos particularmente interesados en el caso de que $Y$$\mathbb{CP}^1$; en este caso, $Y$ tiene la topología de una esfera. En la mayoría de los puntos de $y$$Y$, habrá un vecindario $V$$y$, de modo que $f^{-1}(V)$ es sólo una unión de $n$ copias disjuntas de $U$, cada asignación de isomorphically a $V$. Estos son los puntos donde no hay una ramificación.

En algunos puntos de $y$, algo diferente que va a suceder. Deje $x$ ser una preimagen de $y$, vamos a $V$ ser un pequeño barrio de $y$ y deje $U$ ser el componente conectado de $f^{-1}(V)$ contiene $x$. En estos puntos, el mapa de $f$ se parece a $t \mapsto t^e$, como un mapa de la unidad de disco en $\mathbb{C}$ a sí mismo. Esto se llama la ramificación.

El genérico de la situación es que, en un número finito de puntos de $Y$, uno de los preimages es ramificada con $e=2$ y el otro $n-2$ preimages son no ramificados.

Algebraicamente, si $t$ es un local de coordenadas en $X$, luego tenemos la ramificación donde $\partial f/\partial t$ se desvanece. Incluso si no podemos escribir explícitamente $f$ como una función de la $t$, si podemos encontrar un polinomio relación $P(f,t)=0$, luego tenemos a $(\partial P/\partial f)(\partial f/\partial t) = \partial P/\partial t$, por lo que la ramificación se produce cuando $\partial P/\partial t=0$.

La relación entre ramificada cubre y el grupo simétrico: Vamos a $f: X \to \mathbb{CP}^1$ ser ramificada de la cubierta. Deje $R \subset \mathbb{CP}^1$ ser los puntos sobre los que la ramificación se produce. A continuación, $f^{-1}(\mathbb{CP}^1 \setminus R) \to \mathbb{CP}^1 \setminus R$ es una cubierta, en el sentido de la topología algebraica.

Como usted probablemente sabe, conectado cubre de un espacio de $U$ están clasificados por subgrupos de $\pi_1(U)$. En particular, el grado $n$ cubre son clasificados por el índice de $n$ subgrupos. Me gusta la refundición de esto y decir que el grado $n$ conectado cubre de $U$ están clasificados por transitiva acciones de $\pi_1(U)$ $n$- elemento del conjunto. Esto tiene la ventaja de que, de manera más general, podemos decir que el grado de $n$ cubre de $U$ son clasificados por las acciones de $\pi_1(U)$ $n$- elemento del conjunto.

Ahora, en este caso, $\pi_1(\mathbb{CP}^1 \setminus R)$ es isomorfo al grupo generado por $R$, el modulo de la relación $\prod{r \in R} [r]=1$. Usted debe ser advertido de que este isomorfismo depende de algunas opciones. Primero de todo, tenemos que elegir un punto de base $y$$\mathbb{CP}^1 \setminus R$! Incluso una vez que hayas hecho esto, tenemos que elegir lazos basados en $y$, dando vueltas cada uno de los elementos de $R$, y disjunta de distancia uno del otro de $y$. Estos serán entonces las clases de $[r]$. El fin de que el producto anterior es tomado es la relativa a la circular de la orden en el cual estos bucles venir a $y$.

Así, a las tapas de las $\mathbb{CP}^1 \setminus R$ corresponden a los mapas de este grupo a $S_n$. Para dar un mapa, podemos elegir un elemento $b(r)$ $S_n$ por cada $r$$R$; estos deben obedecer $\prod_{r \in R} b(r)=1$. (Estoy siendo muy descuidado acerca de cuando dos de estos mapas dan isomorfo cubre, y, de hecho, lo que quiere decir dos cubiertas son isomorfos.)

La relación entre la geometría de la cubierta, y el mapa de $b(r)$ es la siguiente: Si la permutación $b(r)$ tiene ciclos de longitud $e_1$, $e_2$, ..., $e_k$, a continuación, $f^{-1}(r)$ contiene $k$ puntos, que son ramificados con grados $e_1$, $e_2$, ..., $e_k$.

Datos útiles a saber: La cubierta está conectado si y sólo si la acción de la $b(r)$ $[n]$ es transitiva.

El género de las $X$ está dado por el Riemmann-Hurwitz fórmula: $$2g-2 = -2n+\sum_{r \in R} (n-\#\mbox{cycles of $r$}).$$

Es muy difícil obtener una ecuación explícita para $X$ a partir de los datos de $R$$b:R \to S_n$.

Answer 3

Para hacer las cosas concretas, permítanme considerar un holomorphic mapa de compacto de las superficies de Riemann $f: S' \to s$. Que $f$ es una cubierta de grado $d$ significa que cada punto de $p \in s$ tiene un vecindario $\mathcal{U}_p$ tal que $$f^{-1}\big( \mathcal{U}_p \big) = \coprod_{i = 1}^d \mathcal{V}_{p,i}$$ where the $\mathcal{V}_{p,i}$ are disjoint and homeomorphic to $\mathcal{U}_p$. There is a strong restriction to existence of these coverings: the Euler characteristic of $S'$ has to be $d$ times that of $S$; e.g., if $S = \mathbb{CP}^1$, then $\chi(S') = -2d$, i.e., $S'$ consists of $d$ copies of $\mathbb{CP}^1$ en sí.

Usted puede obtener una gran cantidad más de kilometraje permite la ramificación. Lo que esto significa es que sólo requieren de su mapa de $f$ para una cubierta de distancia a partir de un conjunto finito de puntos. A través de estos llamados puntos de ramificación hay menos de $d$ puntos. La restricción de Euler características ahora incluye un término que representa el comportamiento de su mapa en torno a estos puntos, y es conocida como la de Riemann-Hurwitz fórmula: $$ \chi(S') = d \chi(S) + \mathrm{deg} R$$ Here $R$ es la ramificación del divisor y se puede asociar a es un entero no negativo, de su grado.

El ejemplo que usted desea tener en cuenta es $z \mapsto z^2$$\mathbb{CP}^1$, lo que se conoce como la superficie de Riemann de la función raíz cuadrada: a través de cualquier punto de $z \neq 0$ hay dos puntos, mientras que el origen no es sólo uno! En realidad, la misma que pasa por el punto en el infinito: la ramificación locus consta de los puntos de $0$$\infty$; su inversa imágenes son llamados puntos de ramificación. Usted puede buscar en google imágenes de "superficie de Riemann de la raíz cuadrada" para ver una imagen de este.

Ahora considere un bucle que va una vez alrededor del origen en la base de $\mathbb{CP}^1$, fijar una elevación del punto de base $p$ y levantar el conjunto de bucle a la $\mathbb{CP}^1$ el piso de arriba. Verás que el extremo de este ascensor es precisamente el punto en el que la imagen inversa de a $p$. Esto le da un homomorphism de $\pi_1(\mathbb{CP}^1 - \lbrace 0, \infty \rbrace) \cong \mathbb{Z}$ para el grupo simétrico en 2 cartas, que toma el generador a la transposición $(12)$.

El último se llama el monodromy representación, y la generalización de este ejemplo se puede ver que un ramificada cubrimiento de grado $d$ le da un homomorphism desde el grupo fundamental de la base de la superficie de Riemann con la ramificación locus eliminado para el grupo simétrico en $d$ letras. Por el contrario, se puede demostrar que para este tipo de representación se puede asociar una ramificada cubierta, y que esta correspondencia es bijective.

El libro desde que me enteré de todo esto es de Miranda Curvas Algebraicas y las Superficies de Riemann (capítulo III, sección 4). Es posible que desee leer y, a continuación, los peces más referencias.

Answer 4

¿Qué entiende usted por una cubierta?

Suena como que usted está hablando acerca de la acción de grupo fundamental de la base espacio en $\pi_0$ de la fibra, para cubrir el espacio. O alguna variante de la misma para ramificada cubrir el espacio.

Echa un vistazo en Hatcher Topología Algebraica libro de texto en la Sección 1.3, "Representating Cubriendo los Espacios Por parte de las Permutaciones".

Generalmente ramificada cubrir el espacio significa un mapa de $f : A \to B$ tal que existe una co-dimensión dos subespacio $A' \subset A$ tal que $f$ cuando se limita a $A \setminus A' \to B \setminus f(A')$ es cubrir el espacio (localmente trivial de fibra paquete discreto de fibra), y $f$ en un barrio de $A' \subset A$ generalmente satisface las restricciones adicionales. Algunos autores puede ser bastante flexible en este. Por lo general, usted quiere un tubular de vecindad, y la asignación del nivel normal de paquetes se basa en el mapa de $S^1 \ni z \longmapsto z^n \in S^1$.

Answer 5

Me gustaría añadir dos observaciones a David Speyer gran explicación de la Hurwitz codificación de un ramificada que cubre. Una pregunta clave estudiado por primera vez por Hurwitz es cuando dos ramas cubiertas son "el mismo", en el sentido de que hay un camino a la trenza de la rama de puntos para enviar una cubierta a la otra cubierta. Para abordar esta cuestión, se empieza con la obvia invariantes, que se llama "Hurwitz de datos". Obviamente, cada punto de ramificación está marcada por el ciclo de la estructura de su permutación. Obviamente, las permutaciones de todos los puntos de ramificación de multiplicar para 1. (Al menos, estos son obvios una vez que usted entiende lo que dijo David.) Un poco menos obviamente, el grupo $G$ generado por las permutaciones $g_1, g_2, \ldots, g_n$ es otro de los invariantes. Es exactamente el grupo de Galois de los aminoácidos de cubierta, si se interpretan los aminoácidos que cubren una extensión de campo de $\mathbb{C}(z)$, o si usted interpretar los aminoácidos de revestimientos como un Galois categoría. En una definición, la Hurwitz de datos es exactamente la elección de $G$ y el resumen monodromy elementos asignados a la rama de los puntos que generen $G$. Un geométricas ramificada que cubre con las hojas se define por estos datos y una selección de un subgrupo de $H \subset G$ lo que representa un intermedio, irregular cubierta. (Bueno, con la condición adicional de que la normal núcleo de $H$ es trivial, por lo que el homomorphism de $G$ a las permutaciones es inyectiva.)

Después de identificar estos evidente invariantes, se podría pensar que es el momento de demostrar que el Hurwitz acción de la trenza grupo es transitiva en cubiertas con el mismo Hurwitz datos. Sin embargo, hay otro invariante que era nada, pero obvio en Hurwitz, pero bastante común en estos días. Es más fácil ver esta invariante si usted tiene un no ramificados cubriendo con grupo de Galois $G$ de una superficie cerrada $S$. La cubierta viene de un homomorphism $f:\pi_1(S) \to G$, y el invariante de la clase de homología $f_*([S]) \in H_2(G)$. Ramificada cubierta de la esfera le da una relativa versión de este invariante; la homología grupo que vive en depende de la monodromy elementos, así como en el grupo $G$. En cualquier caso a menudo es no trivial de la invariante.