Prueba

Question

¿Por qué Hensel del lema implica que $\sqrt{2}\in\mathbb{Q_7}$?

Entiendo Hensel del lexema, a saber:

Deje $f(x)$ ser un polinomio con coeficientes enteros, y vamos a $m$, $k$ ser enteros positivos tales que a $m \leq k$. Si $r$ es un número entero tal que $f(r) \equiv 0 \pmod{p^k}$ $f'(r) \not\equiv 0 \pmod{p}$ entonces existe un entero $s$ tal que $f(s) \equiv 0 \pmod{p^{k+m}}$$r \equiv s \pmod{p^{k}}$.

Pero no veo la manera de que esto no tiene nada que ver con $\sqrt{2}\in\mathbb{Q_7}$?

Conozco a un $7$-ádico número $\alpha$ $7$- adically secuencia de Cauchy $a_n$ de los números racionales. Escribimos $\mathbb{Q}_7$ para el conjunto de la $7$-ádico números.

Una secuencia $a_n$ de los números racionales es $p$-adically de Cauchy si $|a_{m}-a_n|_p \to 0$$n \to \infty$.

¿Cómo mostramos $\sqrt{2}\in\mathbb{Q_7}$?

Answer 1

Aquí está una manera fácil de entender el lema de Hensel: Let$f(X) \in \mathbb{Z}_p[X]$ sea un polinomio primitivo de tal manera que$\overline{f} = \overline{g} \cdot \overline{h}$ en$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[X] \cong \mathbb{Z}_p / p\mathbb{Z}_p[X]$, y$\overline{g}$ y$\overline{h}$ son primos entre sí.

Entonces$f$ escisiones como$f = g \cdot h$ en$\mathbb{Z}_p[X]$, donde$\deg g = \deg \overline{g}$ o$\deg h = \deg \overline{h}$, y$g \equiv \overline{g}, \; h \equiv \overline{h}$ mod$p$.

Utilice esto en$f(X) = X^2 - 2$. Dado que este se divide en$\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$ como$(X-3)(X+3)$, se divide en factores lineales en$\mathbb{Z}_7[X]$.

Answer 2

Hay tantas maneras diferentes de ver que $\sqrt2\in\mathbb Z_7\subset\mathbb Q_7$ que uno puede marearse en la vista. Mi favorita es la correcta declaración de Hensel dada por @Cocopuffs, pero usted puede tener gusto de esto mejor:

Espectáculo más que $\sqrt{2/9}\in\mathbb Z_7$, mediante la expansión de $(1+t)^{1/2}$ a partir del Teorema del Binomio. Desde $t=-7/9$ $7$- adically pequeño, sus poderes van a cero, y si los coeficientes de la serie se $7$-adically delimitada, automáticamente tendrá una serie de Cauchy (serie cuyas sumas parciales forman una secuencia de Cauchy). Pero cuando usted mira la serie para $(1+t)^{1/2}$, se ve que la única denominadores son potencias de $2$, en otras palabras $|c_n|\le1$, para cada coeficiente de $c_n$.

Answer 3

Preguntando si$\sqrt{2}\in\mathbb{Q}_7$ es equivalente a preguntar si$x^2 = 2$ tiene una solución en$\mathbb{Q}_7$.

Hensels lema que dice que este es el caso, ya que tiene soluciones mod$7$ (todas las condiciones del teorema se comprueban fácilmente).

Answer 4

Esto es como yo lo veo y, tal vez, le ayudará a: se puede resolver la ecuación polinómica

$$p(x)=x^2-2=0\pmod 7\;\;(\text{ i.e., in the ring (field)} \;\;\;\Bbb F_7:=\Bbb Z/7\Bbb Z)$$

y sabemos que no hay una solución $\,w:=\sqrt 2=3\in \Bbb F_{7}\,$

Dado que las raíces $\,w\,$ es simple (es decir, $\,p'(w)\neq 0\,$) , Hensel del Lema nos da ascensores para la raíz, es decir: para cualquier $\,k\ge 2\,$ , existe una enteros $\,w_k\,$ s.t.

$$(i)\;\;\;\;p(w_k)=0\pmod {7^k}\;\;\wedge\;\;w_k=w_{k-1}\pmod{p^{k-1}}$$

Ahora, si usted sabe que el límite inversa definición de la $\,p$-ádico enteros, entonces estamos hecho como el de arriba muestra la existencia de $\,\sqrt 2\in\Bbb Q_p\,$ , de lo contrario se puede ir por alguna otra definición (es decir, secuencias infinitas y etc.) y usted obtiene el mismo resultado.

Answer 5

Hensel del lexema permite, por simple raíces de ecuaciones polinómicas, para obtener un entero solución de la ecuación módulo $p^k$ hacer una solución modulo $p^{k+m}$, lo que se llama un "levantamiento" de la solución debido a la reducción del modulo $p^k$ proyecto vuelva a la solución original. No sé por qué la condición de $m\leq k$ es dado en el enunciado del lema en Wikipedia, ya que por simple iteración se puede obtener esta para $m$ tan grande como a uno le gusta. Luego repetir esto indefinidamente, uno obtiene el $p$-ádico de Cauchy de la secuencia que usted desea tener.

Concretamente, si usted comienza con la solución de $n=3$ modulo $p^1=7$ a de la ecuación de $n^2=2$ definición de $\sqrt2$, entonces usted puede encontrar una única solución a la $n'$ de la ecuación modulo $7^2=49$ que también "proyectos" a $n$ modulo $7$$n'\equiv 3\pmod 7$, por escrito, $n'=3+7k$ y luego resolver para $k$ $(n')^2\equiv2\pmod{49}$. Esto se convierte en $3^2+2\times3\times7k+49k^2\equiv2\pmod{49}$ o $42k=-7\pmod{49}$, que después de la división por $7$ da $6k\equiv-1\pmod7$, que tiene la solución a $k=1$, único modulo$~7$, e $n'\equiv3+7\times1=10$ satsifies tanto $(n')^2\equiv2\pmod{49}$$n'\equiv 3\pmod 7$.

Jugar el juego de nuevo posando $n''=n'+49l$ obtenemos $(n'')^2=10^2+2\times10\times49l+10^2\times49^2l^2$, de la cual podemos calcular el modulo $49^2=7^4$ soltando el término final, y dado que el $10^2-2=98$ es divisible por $49$ (nos aseguramos de que esta arriba) se puede dividir la congruencia $(n'')^2\equiv 2\pmod{7^4}$ $49$ conseguir $20l\equiv-98/49=-2\pmod{7^2}$, y desde $20$ es invertible modulo $49$, con inverse $125$, este tiene la solución $l\equiv =125\times-2=-250\equiv44\pmod{49}$, único modulo $49$, dando $n''=2166$. Esto puede continuar indefinidamente (de explícito, los cálculos se vuelven más difíciles de realizar, pero la razón por la que el éxito sigue siendo el mismo), dando soluciones modulo cada vez más altos poderes de $7$. A continuación, $2,10,108,2166,\ldots$ da $7$-ádico de Cauchy sucesión convergente $7$-adically a una raíz cuadrada de $2$ (que es congruente a $3$ modulo $7$). Tenga en cuenta que he añadido la reducción de la $108$ $2166$ modulo $7^3$, aunque su presencia no hacer la secuencia de Cauchy mejor (ni por supuesto la presencia de cualquier término en particular en la secuencia) para marcar el hecho de que nos hemos saltado sobre el paso de la solución de modulo $7^3$; uno podría, por supuesto, sólo retener en la secuencia de Cauchy los valores que realmente fueron calculadas.