A excepción de $\mathbb{Z}$ todo grupo abeliano infinito contiene un subgrupo isomorfo a $\mathbb{Z}^2$ ?

Question

A excepción de $\mathbb{Z}$ , contiene un subgrupo isomorfo a $\mathbb{Z}^2$ .

¿Es cierta esta afirmación? No tengo mucha experiencia trabajando con grupos no finitos así que cualquier consejo será apreciado, ¡gracias!

Answer 1

Esto es falso. Se podría considerar para un grupo abeliano finito (no trvial) $G$ el grupo $\mathbb{Z} \times G $ .

Pero también hay infinitos grupos abelianos que no contienen una copia de $\mathbb{Z}$ incluso. Tomemos por ejemplo el producto de infinitas copias de $\mathbb{Z}/2 \mathbb{Z}$ .

Tenga en cuenta también que $(\mathbb{Q},+)$ no contiene una copia de $\mathbb{Z}^2$ (todavía $(\mathbb{R},+)$ lo hace).

Answer 2

No, considere $\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ es infinito, no isomorfo a $\mathbb{Z}$ (tiene torsión) y no contiene $\mathbb{Z}^2$ .