$-1$ como la suma de tres cuadrados de enteros algebraicos en $\mathcal{O}_{\mathbb{Q}(\sqrt{-7})}$

Question

Tras el resultado de Ivan Niven, en su papel http://www.ams.org/journals/tran/1940-048-03/S0002-9947-1940-0003000-5/S0002-9947-1940-0003000-5.pdf

Que es siempre $d\equiv 3 \pmod 4$, cada algebraicas entero de la forma $a + 2b\sqrt{-d}$ puede ser expresado como la suma de tres cuadrados. Lo que significa que $-1$ puede ser expresado como$s^2 + t^2 + u^2$$\mathcal{O}_{\mathbb{Q}(\sqrt{-7})}$. Alguien puede mostrarme la representación?

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Siguiente Jyrki Lahtonen la respuesta, lo he editado esta pregunta (añadiendo la condición de $d = 4k + 3$).

Answer 1

No creo que esto se puede hacer. $-7\equiv 1\pmod8$, por lo que hay una raíz cuadrada de $-7$ en el 2-ádico de campo $\mathbf{Q}_2$. Por lo tanto, el anillo de enteros de $\mathbf{Q}[\sqrt{-7}]$ puede ser considerado como un sub-anillo de 2-ádico enteros $\mathbf{Z}_2$. Pero la ecuación $$ s^2+t^2+u^2=-1 $$ no tiene soluciones con $s,u,t\in\mathbf{Z}_2$, debido a la reducción de dicha ecuación módulo 8 contradice el hecho de que $s^2,u^2,t^2$ son todos congruentes a $0,1$ o $4$ modulo $8\mathbf{Z}_2$.

No tengo el tiempo para comprobar Niven del argumento, a ver, si podría haber cometido un error en alguna parte. A priori es más probable que me he perdido algo de lo que él lo habría hecho.

Answer 2

De acuerdo a la revisión por parte de E G Straus,

Eljoseph, Nathan, En la representación de un número como una suma de cuadrados, Riveon Lematematika 7, (1954). 38-43, MR0058627 (15,401 d)

"señala un error en las pruebas de los Teoremas 4 y 10 de la I. Niven del papel, Trans. Amer. De matemáticas. Soc. 48, 405-417 (1940) [MR0003000 (2,147 b)].

"Él señala que en lugar de probar que cada número $a+2b\sqrt{-m}$ ($a,b,m$ racionales enteros, $m\ge2$, plaza libre) es la suma de los cuadrados de tres enteros en ${\bf Q}(\sqrt{-m})$, todos los que Niven del argumento por el Teorema 4 de la prueba es:

"$a+2b\sqrt{−m}=\alpha^2+\beta^2+\gamma^2$ O $a+2b\sqrt{−m}=\alpha^2-\beta^2-\gamma^2$ donde $\alpha,\beta,\gamma$ son enteros en ${\bf Q}(\sqrt{-m})$.

"El autor le da una validez contraejemplo al Teorema de 10 y una no válida contra-ejemplo a Teorema 4. Sin embargo Teorema 4 fue desmentida por la C. L. Siegel [Ann. de Matemáticas. (2) 46, 313--339 (1945); MR0012630 (7,49 b)], que da un número infinito de imaginario cuadrática campos, incluyendo la ${\bf Q}(\sqrt{-7})$, en el que 7 no es la suma de tres cuadrados."

Answer 3

Esta respuesta se explica en un comentario anterior en más detalle, solicitado por Jyrki Lahtonen. Voy a escribir $\mathbf{Z}_8$$\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$. En primer lugar, como Jyrki comentó, la ecuación de $a^2+b^2+c^2=-1$ no tiene solución en $\mathbf{Z}_8$. De esta manera se sigue por la inspección de el hecho de que $x^2 \in \{0,1,4\}$ todos los $x\in \mathbf{Z}_8$. Ahora vamos a $d$ ser una plaza libre entero positivo tal que $d \equiv 7 \ (\bmod 8)$. A continuación, $d \equiv 3\ (\bmod 4)$ y apenas voy estado el hecho de que en este caso el anillo de enteros $\mathcal{O}_d$ $\mathbb{Q}(\sqrt{-d})$ es una red:

$$ \mathcal{S}_d = \mathbb{Z} + \mathbb{Z} \alpha, \textrm{ donde } \alpha =\frac{1+\sqrt {d}}{2}. $$

Definir $k := (d+1)/4 \in 2\mathbb{Z}$. Entonces, el polinomio mínimo de a$\alpha$$X^2-X+k$. El siguiente paso es mostrar que este polinomio tiene dos raíces en $\mathbf{Z}_{2^m}$ todos los $m \geq 1$. De esta manera se sigue por inducción.

Primera nota de que $0,1$ son ambas raíces en $\mathbf{Z}_2$. Ahora supongamos que $x \in \mathbf{Z}_{2^m}$ es una raíz, por lo $x^2-x+k=y2^m$ para algunos entero $y$. Entonces

$$ (x+y2^m)^2-(x+y2^m)+k = xy2^{m+1} + y^22^{2m} \equiv 0\ (\bmod 2^{m+1}) $$

y, en particular, el mínimo polinomio tiene una raíz $x' \in \mathbf{Z}_{2^{m+1}}$ tal que $x' \equiv x\ (\bmod 2^m)$. De hecho, una inspección más detallada de este procedimiento muestra que hay exactamente dos raíces en $\mathbf{Z}_{2^m}$.

Revisión de la raíz $x \in \mathbf{Z}_8$ y definir un mapa de $\varphi: \mathcal{O}_d \rightarrow \mathbf{Z}_8$ por

$$ \varphi: a + b + \frac{1+\sqrt {d}}{2} \mapsto a + bx. $$

Es fácil comprobar explícitamente que $\varphi$ es de hecho un homomorphism. La multiplicación de las obras debido a que tanto $x \in \mathbf{Z}_8$ $\alpha \in \mathcal{O}_d$ satisfacer una idéntica relación cuadrática. Ahora podemos concluir que para cualquier $a,b,c \in \mathcal{O}_d$

$$ \varphi(a^2+b^2+c^2) = \varphi(a)^2+\varphi(b)^2+\varphi(c)^2 \neq -1 $$

y, por tanto,$a^2+b^2+c^2 \neq -1$.