ZFC demuestra la existencia de ciertos subconjuntos de a $\mathbb{R}$. Supongamos que ZFC es consistente, y nos lindan con un gran cardenal axioma de ZFC, la obtención de ZFC'. Asumir ZFC' es también coherente. Es posible demostrar la existencia de nuevos subconjuntos de a $\mathbb{R}$ el uso de ZFC'?
Respuesta
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Sería más exacto decir que "ZFC + grandes cardenales" resulta más declaraciones de postular la existencia de conjuntos de reales con ciertas propiedades lógicas (por ejemplo, demuestra más $\Sigma^2_1$ declaraciones) que decir que se demuestra la existencia de nuevos subconjuntos de a $\mathbb{R}$. Dicho esto, suponiendo la existencia de grandes cardenales, ciertamente, no permite probar más a lo largo de estas líneas, incluso sobre la única reales.
Por ejemplo, si hay un cardinal medible, a continuación, $0^\sharp$ existe, es decir, no hay una única real $x$ que calcula el conjunto de las sentencias verdaderas en Goedel del universo construible $L$ (y un poco más). La declaración de $x = 0^\sharp$ es absoluta entre los modelos de la teoría de conjuntos que contienen una determinada real $x$ y con el mismo ordinales, por lo $0^\sharp$ es bastante robusto noción. Sin embargo, $0^\sharp$ no está contenido en el interior del modelo de $L$ (que satisface ZFC) así que uno no puede probar que la declaración "$0^\sharp$ existe" en ZFC solo.
Si usted desea considerar conjuntos de reales en lugar de una sola reales, entonces usted podría considerar la posibilidad de la declaración de "$\mathbb{R}^\sharp$ existe", que es más fuerte, pero aún se sigue de la existencia de un cardinal medible. Algunos de los más importantes técnica $\Sigma^2_1$ declaraciones que son incluso más fuerte que esta en términos de la consistencia de la fuerza se iterability declaraciones como "no existe una estrategia de iteración para un premouse con un superstrong cardenal".
