¿Cómo puedo obtener la secuencia $4,4,2,4,4,2,4,4,2 \ldots $ en la ecuación?

Question

¿Cómo puedo escribir una ecuación que exprese el enésimo término de la secuencia:

$$4, 4, 2, 4, 4, 2, 4, 4, 2, 4, 4, 2, \ldots $$

Answer 1

¿Qué tal si $$x_n= \begin {cases} 4 & \text {if }n \equiv 0,1\:( \bmod 3) \\ 2 & \text {if }n \equiv 2\:( \bmod 3) \\ \end {cases}$$ asumiendo que empiezas a indexar desde $0$ .

Answer 2

$$ \frac {14}{3} - \frac {8}{3} \cos ^2 ( \frac {2 \pi n}{3})$$

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Añadido: La fórmula original fue escrita a altas horas de la noche, y sufrió un par de errores de cálculo; esperemos que la fórmula actual sea correcta.

Por supuesto, el cuadrado en el coseno es innecesario (sólo lo puse ahí porque pensé, debido a un error de cálculo, que simplificaba los coeficientes).

En cierto sentido, la fórmula más natural es la que no tiene el coseno cuadrado, a saber

$$ \frac {10}{3} - \frac {4}{3} \cos ( \frac {2 \pi n}{3})$$

(como se señala en el PO que figura a continuación).

Obsérvese que la existencia de tal fórmula no es accidental ni carente de interés. Es una ilustración de la teoría finita de Fourier (o, si lo prefiere, de la teoría del carácter del grupo finito abeliano $ \mathbb Z/3 \mathbb Z$ ). En general, cualquier función de $n$ que depende sólo de $n \bmod N$ puede escribirse como una combinación lineal de las funciones $e^{2 \pi i n /N}$ .

El ejemplo más familiar es probablemente la fórmula $(-1)^n$ para la secuencia $-1,1,-1,1, \ldots $ .

Si tal fórmula es alguna vez útil desde el punto de vista computacional está fuera de mi área de especialización, pero no hay duda sobre la utilidad teórica de la teoría finita de Fourier.

[Ver la respuesta de Lubin para una respuesta más explícita de acuerdo con este comentario.]

Answer 3

$$ f(n) = \begin {cases} 4 \text { if } n \equiv 0 \text { or } 1 \text { (mod 3)} \\ 2 \text { if } n \equiv 2 \text { (mod 3)} \end {cases} $$

Answer 4

$$4-2 \cdot\mathbf 1_{3 \mid n} \qquad\text {or} \qquad 2+2 \cdot\mathbf 1_{ \gcd (3,n)=1}$$

Answer 5

¿Qué hay de

$$a_n:= \left\ { \begin {array}{}4\,,& \text {if}\,\;\;n \neq 0 \pmod 3 \\2\ ,,& \text {if}\,\;\;n=0 \pmod 3 \end {array} \right.... ?$$