¿Cuándo y por qué $x^x$ ¿indefinido?

Question

Estaba aprendiendo en diferenciación logarítmica cómo diferenciar una función como $f(x)=x^x$ así que, naturalmente, tenía curiosidad por saber cómo era la gráfica de la función real. La grafiqué en esta aplicación y, para mi sorpresa, toda la sección de $(- \infty,0)$ no está definido. Entiendo por qué podríamos tener problemas y anomalías sobre $x=0$ pero ¿qué pasa con $x=-10$ ¿no debería ser $(-10)^{-10}$ que a mi entender es un número real muy válido. Así que la pregunta realmente se plantea por qué es la función indefinida en $x<0$ ?

Answer 1

De hecho, como usted ha mencionado, algo como $(-10)^{-10}$ es sólo $1/(-10)^{10}$ .

El problema es que en cualquier lugar que tengamos racionales estaremos muy cerca de un valor de $x$ que es de la forma $-\frac{1}{2}p$ .

En otras palabras, observe que $(-1/2)^{-1/2}$ es igual a $\frac{1}{(-1/2)^{1/2}}$ y nosotros no puede tomar la raíz cuadrada de un número negativo.

Igualmente $$(-1/4)^{-1/4}=\frac{1}{(-1/4)^{1/4}}=\frac{1}{((-1/4)^{1/2})^{1/2}}$$ y de nuevo tenemos la raíz cuadrada de un número negativo.

Resulta que tenemos infinitos de estos casos a lo largo de la recta de los números reales negativos. Aunque técnicamente podemos dejar que el dominio tenga algunos puntos, tales como $-10$ o $-1$ es más fácil si decimos que el dominio es $(0,\infty)$ .

Answer 2

Si $-1<x<0$ entonces $x^x$ se traduce en tomar una raíz de un número negativo, y eso es indefinido para números reales.

Para los números complejos, se define sólo cuando se toma una rama, por ejemplo: $$f(\frac{-1}{2})=\pm\sqrt{2}i$$

Una función sólo debe tener un valor.

La misma lógica se aplica también a cualquier $x<0$

En relación con $x=0$ :

$0^0$ no está definido ni siquiera en el dominio de los números complejos, sin embargo $$lim_{x\rightarrow 0^+}{x^x}=1$$

Por tanto, para cualquier uso práctico (por ejemplo entropía ) puede asumir $0^0=1$