Cómo determinar si un punto está dentro de un recinto cerrado o no de la región?

Question

Tome la siguiente ecuación paramétrica de una forma implícita de la curva como un ejemplo:

$$ \left\{\quad \begin{array}{rl} x=& 9 \sin 2 t+5 \sin 3 t \\ y=& 9 \cos 2 t-5 \cos 3 t \\ \end{array} \right. $$

Por arbitrariamente un punto dado,$P=(x_0,y_0)$, numéricamente, cómo determinar si $P$ está dentro de la región azul definida por la curva o no?

Answer 1

En general, usted puede determinar si un punto se encuentra dentro de una curva cerrada mediante el cálculo de la liquidación número de la curva alrededor del punto. Una suave curva cerrada $\gamma=(\gamma_x, \gamma_y):[0,1]\rightarrow \mathbb{R}^2$ (donde $\gamma(0)=\gamma(1)$), la liquidación número de alrededor de un punto de $(x_0, y_0)$ no sobre la curva es igual a la integral de línea $$ w_\gamma(x_0, y_0)=\frac{1}{2\pi}\oint_{\gamma}d\theta = \frac{1}{2\pi}\oint_{\gamma}\frac{(\gamma_x(t) - x_0) \gamma_y'(t) - (\gamma_y(t) - y_0) \gamma_x'(t)}{(\gamma_x(t) - x_0)^2+(\gamma_y(t)-y_0)^2}dt. $$ La liquidación número es un entero, y es cero para un punto fuera de la curva y positivo (negativo) para un punto en el que está encerrada por la curva en sentido contrario (hacia la derecha) de la orientación.

Answer 2

Esta es una estrella de dominio con respecto al origen de su construcción. Por esta razón el sistema no lineal $$\begin{cases}x_0 = \lambda(9\sin(2t)+5\sin(3t)),\\y_0= \lambda(9\cos(2t)-5\cos(3t)) \end{cases}$$ has a real solution $\{\lambda,\, t\}$ satisfying the restrictions $\{\lambda \ge 0, \lambda < 1,\, t \ge 0,\, t\le 2\pi\}$ if a point $(x_0,y_0)$ es en el interior del dominio, que no pertenecen a su límite, y no tiene solución en el caso contrario. El único método de trabajo para resolver el sistema numérico. Yo uso el DirectSearch paquete de Arce para este fin. El DirectSearch paquete debe ser descargado de Arce Centro de Aplicación y se instala en el Arce.

Comencemos desde el punto de $A(1,-1)$:

 sol := DirectSearch:-SolveEquations([1 = lambda*(9*sin(2*t)+5*sin(3*t)), -1 = lambda*(9*cos(2*t)-5*cos(3*t))], {lambda >= 0, t >= 0, lambda <= 1, t <= 2*Pi}, AllSolutions, solutions = 1);

$$ \left[ \begin {array}{cccc} { 1.32446294720147540\times 10^{-26}}& \left[ \begin {array}{c} -{ 1.09245945623115402\times 10^{-13}} \\{ 3.61932706027801032\times 10^{-14}}\end {array} \right] \\&[\lambda= 0.349055727031787666,t= 1.23742356730272540] y 77 \end {array} \right] $$

This output means the numerical solution $\lambda= 0.349055727031787666,t= 1.23742356730272540$ satisfies the first equation with the accuracy $- 1.09245945623115402\veces 10^{-13} $ and the second equation up to $ 3.61932706027801032\veces 10^{-14} $. The number $ 1.32446294720147540\veces 10^{-26}$ equals the sum of the squared residuals. The number $77$ is the number of steps to solve the system. We see that the point $Un$ is placed in the interior of the domain as $\lambda= 0.349055727031787666 < 1.$ Ahora consideramos el punto de $B(5,5)$:

sol := DirectSearch:-SolveEquations([5 = lambda*(9*sin(2*t)+5*sin(3*t)), 5 = lambda*(9*cos(2*t)-5*cos(3*t))], {lambda >= 0, t >= 0, lambda <= 1, t <= 2*Pi}, AllSolutions, solutions = 1);

$$ \left[ \begin {array}{cccc} 0.804364869871176834& \left[ \begin {array}{c} - 0.0365718874608482736\\ 0.896117942526946542\end {array} \right] \\&[\lambda= 0.99999999999280198,t= 0.156602991662910751]&99\end {array} \right] $$

The above output means the system has no real solution as the residuals are quit big. The SolveEquations command can return not only exact solutions of the equation system but also any minimums of function $$F:=(5 - \lambda(9\sin(2t)+5\sin(3t)))^2+(5 - \lambda(9\cos(2t)-5\cos(3t)))^2.$$ If the residuals too large then the solution is not exact solution but it is only solution that minimizes the residuals. We can draw the conclusion that $B$ no pertenecen a la interior.

Por último, cabe señalar que la liquidación número de no discriminar en el interior de los puntos en esta situación. Ver la página de William F. Basener, la Topología y Sus Aplicaciones: