$3x^2 ≡ 9 \pmod{13}$

Question

¿Qué es $3x^2 ≡ 9 \pmod{13}$?

Al simplificar la expresión de la $x^2 ≡ 3 \pmod{13}$ y la aplicación de la fuerza bruta de las que puedo mostrar que las respuestas son de 4 y 9, pero la forma de abordar esto en una forma más eficiente?

He intentado afirmando que lo que la expresión anterior, dice lo que significa esencialmente $13|(3x²-9)$, que sólo me da más variables ($3x²-9=13k, k \in \mathbb{Z}$)

Answer 1

$x^2\equiv 3 \equiv 16 \pmod {13}$.

Así, esta ecuación tiene solución $x\equiv \pm 4\pmod {13}$. Y sabemos que el polinomio sobre un campo de grado n tiene a lo sumo n soluciones. Desde $\mathbb{F}_{13}$ es de campo, esta ecuación tiene más de 2 solución.

Answer 2

Tenemos $13\mid 3(x^2-3)\iff 13\mid(x^2-3)$$(3,13)=1$, $x^2\equiv3\pmod {13}$.

Ahora, cualquier número $x$ $\equiv 0,\pm1,\pm2,\pm3,\pm4,\pm5,\pm6 \pmod {13}$

Por eso, $x^2\equiv 0,1,4,9,16(\equiv3),25(\equiv 12\equiv-1),36(\equiv10\equiv-3)\pmod {13}$

Por eso, $x\equiv\pm4\pmod {13}$

Para una mayor prime, podemos utilizar el Teorema de la Reciprocidad Cuadrática, para comprobar las soluciones que existe o no existe antes de la prueba de la siguiente manera:

$$\left(\frac 3{13}\right)\left(\frac{13}3\right)=(-1)^\frac{(13-1)(3-1)}4=1$$

Ahora, $\left(\frac{13}3\right)=\left(\frac13\right)$ $y\equiv\pm1\iff y^2\equiv1\pmod 3\implies \left(\frac{13}3\right)=1\implies \left(\frac{13}3\right)=1$ por lo tanto $3$ es un residuo cuadrático de $13$ y la ecuación dada es solucionable.