¿Cualquier álgebra de Lie procede del conmutador de alguna operación de producto asociativo?

Question

Supongamos que $\mathfrak{g}$ es un álgebra de Lie. ¿Es posible definir una operación de producto asociativo $\star$ en $\mathfrak{g}$ tal que $[A,B]=A\star B - B \star A$ ? Si no es posible hacerlo en general, ¿cómo podemos saber qué álgebras de Lie vienen como conmutador de alguna operación de producto? (¿Existe algún criterio útil?)

Soy consciente (sin pruebas) de que toda álgebra de Lie tiene una incrustación $f$ en un álgebra asociativa tal que el soporte de Lie $[A,B]$ corresponde a $f(A)f(B)-f(B)f(A)$ ,pero la pregunta que hago arriba exige algo más fuerte.

Answer 1

La respuesta es no en general, y sospecho que es no para todas las álgebras de Lie simples. Aquí hay un argumento que funciona para muchas álgebras de Lie simples, incluyendo $\mathfrak{sl}_2$ . (Hay una prueba elemental más directa para $\mathfrak{sl}_2$ .)

Supongamos que $\mathfrak{g}$ es un álgebra de Lie no conmutativa que surge como los conmutadores de algún álgebra. Entonces hay un mapa de $\mathfrak{g}$ -módulos $\mathfrak{g} \otimes \mathfrak{g} \rightarrow \mathfrak{g}$ dado por la multiplicación $x \otimes y \mapsto xy$ y otro mapa dado por la multiplicación opuesta $x \otimes y \mapsto yx$ . Desde $\mathfrak{g}$ es no conmutativo estos dos mapas son linealmente independientes, por lo que $\dim \mathrm{Hom}_{\mathfrak{g}\text{-mod}}(\mathfrak{g} \otimes \mathfrak{g}, \mathfrak{g}) \geq 2$ . Así que cualquier álgebra de Lie no conmutativa con la propiedad de que $\dim \mathrm{Hom}_{\mathfrak{g}\text{-mod}} (\mathfrak{g} \otimes \mathfrak{g}, \mathfrak{g}) = 1$ no puede provenir de un álgebra asociativa. Los ejemplos incluyen $\mathfrak{sl}_2$ y todas las álgebras de Lie simples fuera de la serie A.

Answer 2

La respuesta es, efectivamente no para todas las álgebras de Lie semisimples. Dicho producto asociativo determinaría una estructura simétrica a la izquierda y otra a la derecha en el álgebra de Lie. Se sabe que esto no puede existir para las álgebras de Lie semisimples sobre un campo de característica cero debido al lema de Whitehead. De hecho, no existe ninguna estructura simétrica a la izquierda. Si $L$ denota el álgebra de Lie, la multiplicación por la izquierda define un $L$ -Módulo $M_L$ que debe satisfacer $H^1(L,M_L)=0$ . Dado que la identidad $id$ es un $1$ -cocos de $L$ con valores en $M$ tiene que ser un cofundador, es decir, existe un elemento $e$ tal que la multiplicación por la derecha $R(e)$ por $e$ es la identidad. Debido a $[L,L]=L$ sin embargo, todas las multiplicaciones por la derecha tienen traza cero. Por lo tanto, la identidad tiene traza cero - una contradicción.