definición oficial precisa de un complejo celular y de un complejo CW

Question

Estaría muy agradecido si alguien pudiera exponer una definición precisa (directa e inductiva) de un complejo celular y CW-complejo Ya que mi intuición me dice que falta alguna restricción y además, las definiciones de varios libros parecen ser muy diferentes. Concisión es muy deseada, ya que todo parece muy complicado.

1) DEFINICIONES De Introduction to Topological Manifolds (J. M. Lee)

y de Topología Algebraica (T. tom Dieck):

Estas definiciones son tan complicadas, que no puedo ver realmente lo que está pasando.

Dejemos que $\mathbb{B^n}$ denota una bola n cerrada. Hasta donde yo sé, un complejo celular es un espacio, obtenido como $X=\cup_{i\in\mathbb{N}_0} X^{(i)}$ , de tal manera que

• $X^{(0)}$ es un espacio discreto y
• $X^{(n)}$ se obtiene de $X^{(n-1)}$ adjuntando $n$ -células, es decir $X^{(n)}$ $=$ $X^{(n-1)}\cup_{f_\lambda}\coprod_{\lambda\in\Lambda}\mathbb{B^n}$ $=$ $X^{(n-1)}\coprod\coprod_{\lambda\in\Lambda}\mathbb{B^n}/_{x\sim f_\lambda(x);\; x\in\mathbb{S}^{n-1},\lambda\in\Lambda}$ y
• $A\subseteq X$ está cerrado en $X$ $\Longleftrightarrow$ $\forall n\in\mathbb{N}_0$ : $A\cap X^{(n)}$ está cerrado en $X^{(n)}$ .

2) MI PROBLEMA: ¿Pero no debería haber alguna condición en $f_\lambda$ ? Por ejemplo, si tenemos un gráfico ( $1$ -) compuesto por un solo vértice y una sola arista. Entonces, cuando adjuntamos $\mathbb{B^2}$ podemos establecer $f$ para mapear todo el $S^1$ a un solo punto de la arista, que no es el vértice. Así obtenemos un espacio muy extraño:

No debería $f$ ir a lo largo de cada bucle/borde en $X^{(1)}$ número entero muchas veces y no detenerse en el medio? Además, ¿cómo evitamos $f$ de oscilar infinitamente? Por ejemplo, si $X^{(1)}$ contiene dos aristas $a,b\subseteq\{0\}\times\mathbb{R}\subseteq\mathbb{R}^2$ con $a\cap b=\{(0,0)\}$ entonces $f(x)=(0,x^2\sin(1/x))$ puede entrar infinitas veces en $a$ y $b$ .

3) INNECESARIO: Si tienes tiempo/paciencia/interés, las definiciones de complejo simplicial, complejo simplicial abstracto, complejo de Whitehead y cualquier otro complejo también son bienvenidas.

Answer 1

Ninguna parte de la definición de un complejo de CW impide el tipo de ejemplos que usted ha indicado. En particular:

1. No hay ningún problema en que todo el límite de una celda de 2 esté unido a un único punto en el centro de una celda de 1.

2. Es perfectamente posible que el límite de una célula de 2 esté unido a una célula de 1 de forma oscilante, por ejemplo, asemejándose localmente a $x \sin(1/x)$ .

Creo que entiendes bien la definición de un complejo de CW, sólo estás confundido sobre cómo una definición tan general podría ser útil.

La razón es que la topología algebraica se define principalmente hasta equivalencia de homotopía . Se suele definir de la siguiente manera: dos espacios $X$ y $Y$ son equivalentes en homotopía si existen mapas $f\colon X\to Y$ y $g\colon Y \to X$ para que $f\circ g$ y $g\circ f$ son homotópicos al mapa de identidad. Los espacios homotópicos equivalentes tienen los mismos grupos homotópicos, los mismos grupos de homología y cohomología, y esencialmente todas las mismas propiedades homotópicas.

La razón por la que la naturaleza de los mapas adjuntos $f_\lambda$ no es importante es que cualquier complejo CW "salvaje" es equivalente en homotopía a un complejo CW "domesticado". En particular, el tipo de homotopía de un complejo CW está totalmente determinado por las clases de homotopía de los mapas de unión . Es decir, si se sustituye uno de los mapas de unión por un mapa homotópico, entonces el complejo CW resultante es homotópicamente equivalente.

Por ejemplo, si todo el límite de una celda 2 se une al centro de una celda 1, esto es homotópico a un mapa que une todo el límite a una celda 0 cercana, por lo que los dos complejos resultantes son homotópicos equivalentes. Del mismo modo, cualquier mapa oscilante como $x\sin(1/x)$ es homotópico a un mapa más razonable, por lo que cualquier complejo CW con un adjunto oscilante es homotópico equivalente a uno con mapas de adjunto más agradables.

De hecho, asumiendo que estamos dispuestos a trabajar hasta la equivalencia de homotopía, podemos suponer que el límite de cualquier celda de 2 mapas a cualquiera de los dos

1. Una sola célula 0 a través de un mapa constante, o

2. A un bucle cerrado de aristas en el esqueleto 1, utilizando un mapa que es localmente una incrustación.

Así es como los topólogos tienden a pensar en los complejos celulares a efectos de la topología algebraica.

Por cierto, la razón por la que es útil permitir mapas adjuntos arbitrarios es que glosa el problema de cómo elegir un representante "agradable" para cada clase de mapas de homotopía de la frontera de un $n$ -célula a la $(n-1)$ -esqueleto. Aunque es obvio cómo deberían funcionar estos "simpáticos" representantes cuando $n=2$ En las dimensiones más altas, la situación es menos clara.

Por ejemplo, es posible tener un complejo CW cuyo $2$ -es un esqueleto de 2 esferas, y luego adjuntar un $4$ -célula a la $2$ -utilizando un elemento no trivial de $\pi_3(S^2)$ . Es decir, el límite de la $4$ -célula es un $3$ -esfera $S^3$ , que se une a la esfera $S^2$ a través de la Mapa de Hopf $S^3 \to S^2$ . En realidad, se trata de un complejo de celdas muy útil, porque da una estructura de celdas para el espacio proyectivo $\mathbb{C}P^2$ con sólo tres celdas.

Los complejos simpliciales son mucho más sencillos: en realidad son sólo objetos combinatorios, con simplexes pegados mediante las identificaciones lineales simples. La desventaja es que un complejo simplicial suele tener muchos más símiles que las celdas de un complejo celular. Por ejemplo, existe un complejo CW para el toro que sólo tiene cuatro celdas, mientras que un complejo simplicial homeomorfo a un toro requiere al menos un par de docenas de símiles. En general, poner una estructura CW en un espacio sólo requiere información de homotopía, mientras que poner una estructura simplicial en el espacio requiere una consideración mucho más cuidadosa de la geometría.

Editar: Por cierto, el mejor lugar para aprender sobre los complejos celulares y su relación con la equivalencia homotópica es el capítulo 0 de Libro de topología algebraica de Hatcher .