Algunas topologías son más iguales que otros

Question

En MathOverflow hace 5 años, me respondió a una pregunta acerca de Muy sofisticadas pruebas de hechos simples. Me respondió Fürstenberg del topológica de la prueba de la infinitud de los números primos. Mientras que la respuesta en última instancia, tiene varios votos, hubo críticas de que la topología que Fürstenberg utilizado fue de alguna manera no es "real". Me gustaría explorar este.

La topología en cuestión pasa a ser el profinite topología en $\mathbb{Z}$, sin embargo, todavía hubo quejas. Esta topología incluso fue desestimada como "palabras". Pero pensé que el punto de la definición abstracta de la topología de la era lidiar con la mayoría de las propiedades esenciales de "abrir" conjuntos (arbitrario sindicatos y finito intersecciones). Si se establece que no parecen estar en forma "natural" (por ejemplo, los conjuntos de los números reales) se puede definir como abrir y satisfacer la topología de axiomas, ¿por qué debería ser molestado? En todo caso, yo habría pensado que el topológica de la conexión tiene que ser interesante, el cual era el contenido de mi respuesta.

Así que mi pregunta es: ¿hay una buena razón por la que algunas de las topologías son más importantes y "natural" que otros? Dada la definición abstracta, que no estoy viendo.

Answer 1

Usted entiende mal la crítica. Brian Conrad no está diciendo que los espaciados uniformemente entero de la topología, es decir, la real familia de bloques abiertos, es solo palabras: él dice que la prueba es sólo Euclides prueba en topológico, disfraz, que la topológico trampas son totalmente superficiales, y que el argumento no uso de la topología en cualquier forma esencial. En particular, él no está diciendo que esta topología es poco importante o poco natural, y su título no dirección de su verdadera objeción.

Dicho esto, no hay mucho de verdad en su protesta. Es cierto que el argumento no hace uso de ningún real topológico teoremas y es de un topológico punto de vista trivial. También es cierto que la demostración de que los conjuntos de $a\Bbb Z+b$ son en realidad una base, y de hecho una clopen base para una topología en $\Bbb Z$ es, básicamente, número o grupo de teoría.

Por otro lado, la demostración de usos muy elemental número de la teoría de los hechos que bien podría ser visto como realmente no pertenecen a ningún área en particular. En el improbable caso de que uno encontró Furstenberg prueba en primer lugar, uno puede entonces ver Euclides como una reafirmación de que en más obviamente número teórico de los términos. Más importante, el idioma en el que un problema o argumento es de fundición de no afectar la manera en que naturalmente pensamos acerca de ella, y la correspondencia entre Euclides y Furstenberg argumento es, probablemente, no instantáneamente obvio para la mayoría de la gente. Así, mientras que Furstenberg el argumento de que podría decirse que es esencialmente no topológico o esencialmente diferente de la de Euclides, no en el hecho de utilizar la maquinaria de la topología (aunque en bastante forma trivial) y así mostrar el argumento significativamente en una luz diferente. También se empieza a sugerir una manera de mirar ciertos tipos de combinatoria número teórico de los problemas que ha demostrado ser bastante productivo.

En definitiva, la declaración de lo alto es un poco exagerada, pero el principal objeción no sin justificación.

Answer 2

Otra vista de la objeción a la "topológico" prueba puede basarse en el siguiente extracto de la introducción a Pedro Freyd del libro "Abelian Categorías":

"Si topología pública se define como el estudio de las familias de conjuntos cerrados bajo intersección finita e infinita a los sindicatos un grave perjuicio sería perpetrada en embriones de los estudiantes de la topología. La matemática de la exactitud de dicha definición no revela nada acerca de la topología de la excepción de que sus axiomas básicos puede ser muy simple. $\dots$ Mejor (aunque no perfecto) descripción de la topología es el estudio continuo de los mapas; $\dots$"

En otras palabras, los aspectos de la "topología" que se utilizan en la prueba de la infinitud de los números primos no son "realmente" topología, sino más bien un marco conveniente para estudiar el verdadero objeto de la topología, que comienza con la continua mapas. Creo que esta actitud representa la sensación, por parte de muchas personas, que (1) no estamos tratando aquí con un topológica de la prueba en lo absoluto, sino más bien una codificación de un número de la teoría de la prueba y (2) la posibilidad de una codificación no nos dice nada interesante acerca de la topología.

Answer 3

Voy a publicar esto como una respuesta en lugar de un largo comentario a @Brian M. Scott respuesta, que me aprecian y que puede aceptar.

Yo no malinterpretar la crítica, y entiendo que el uso de la topología es trivial en este ejemplo. Pero mi punto era que la existencia de un resultado como Furstenberg es uno de esos casos donde podemos ver que las matemáticas "tengo la abstracción de derecho," en este caso la definición abstracta de una topología. El hecho de que el número teórico de enfoque tiene más sentido como la configuración correcta del problema no parece debilitar el caso de que las propiedades topológicas existen por definición, y el hecho de que se puede llegar al mismo resultado es por lo menos interesante, incluso si trivial. Este parece ser el Bebé de Dragón punto.

Ahora en contra de esto, la definición abstracta de la topología es muy general, por lo general, que es una parte importante de la topología de conocer y entender los muchos contraejemplos, que existe precisamente porque arbitraria de la topología puede tener muy poca estructura. Y tal vez muchos de los contraejemplos son interesantes sólo como contraejemplos y nada más.

Para resumir, mi pensamiento inicial fue que no había ninguna razón para pensar que una relación entre un problema de teoría de números y la topología debe existir en todos, de modo que existe una conexión debería ser más interesante. El hecho de que la prueba se utiliza nada más que las definiciones básicas de topología y ninguna otra más profunda resultado hace que el problema sea topológicamente trivial, pero que tiene cualquier topológico lanzado en absoluto todavía parece relevante. Creo que esto significa que estoy básicamente de acuerdo con Brian M. Scott respuesta con un poco más de una inclinación hacia la búsqueda de la conexión más interesante de lo que muchos hicieron en MathOverflow. Así que esto fue muy útil, gracias.

EDIT: quería agregar que Andreas Blass, la respuesta es excelente. Se observa que el Furstenberg la prueba no es categórica, que es una de las principales insight, al menos para mí! Es cierto que mi categoría de la teoría es débil, pero sé que es importante, así que agradezco esta idea.