La proporción áurea, $n$ -números de Bonacci, y radicales de la forma $\sqrt[n]{\frac{1}{n-1}+\sqrt[n]{\frac{1}{n-1}+\sqrt[n]{\frac{1}{n-1}+\cdots}}}$

Question

El siguiente radical anidado infinito $$\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots}}}}$$ se sabe que converge a $\phi=\displaystyle\frac{\sqrt{5}+1}{2}$ .

También se sabe que el radical anidado infinito similar $$\sqrt[3]{\frac{1}{2}+\sqrt[3]{\frac{1}{2}+\sqrt[3]{\frac{1}{2}+\sqrt[3]{\frac{1}{2}+\cdots}}}}$$ converge a $\displaystyle\frac{1}{t_3-1}=1.19148...$ , donde $t_3=1.83929...$ es la constante de tribonacci, que corresponde a la relación a la que tienden los números tribonacci adyacentes. Nótese la similitud con el caso anterior, ya que $\displaystyle\frac{1}{\phi-1}=\phi$ .

Curiosamente, suponiendo que el grado de los radicales es $n$ y que el término constante bajo los radicales es $1/(n-1)$ La relación entre este tipo de radicales anidados y las constantes de n-bonacci es válida incluso para los números degenerados de 1-bonacci (cuya secuencia se reduce a una serie de 1). En este caso, los radicales se anulan, el término constante se convierte en $1/0=\infty$ y el resultado es $\infty$ que está de acuerdo con $\frac{1}{1-1}=\infty$ .

Basándose en estas consideraciones, se podría hipotetizar que pueden existir radicales anidados similares para números de n-bonacci de orden superior. Por ejemplo, para $n=4$ podríamos esperar que un radical anidado que diera $\displaystyle\frac{1}{t_4-1}=1.07809...$ , donde $t_4=1.92756...$ es la llamada constante de tetranacci (límite de la relación entre números adyacentes de 4 carbonacci), podría ser

$$\sqrt[4]{\frac{1}{3}+\sqrt[4]{\frac{1}{3}+\sqrt[4]{\frac{1}{3}+\sqrt[4]{\frac{1}{3}+\cdots}}}}$$

Lamentablemente, en este caso el radical parece no funcionar (da $1.09279...$ en lugar del esperado $1.07809...$ ). Además, no he podido encontrar ningún número racional que, insertado en este radical anidado como término constante, satisfaga la equivalencia (el valor numérico que funciona es $k=0.27282...$ ). Se obtienen resultados similares para valores más altos de $n$ . ¿Cuál es la razón de esto? ¿Hay alguna manera de probar o refutar la existencia de radicales anidados similares vinculados a los números n-bonacci para $n>3$ ?

Answer 1

Esto equivale a $x^n=\dfrac1{n-1}+x$ lo que significa resolver un polinomio de grado n en x . El números de Fibonacci generalizados cumplen la ecuación general $x^{−n}+x=2$ Por lo tanto, no hay razón para esperar una conexión universalmente válida entre ambos. Véase también ley de los números pequeños .

Answer 2

( Editar : Respuesta anterior generalizada).

En realidad, tiene usted parte de razón. Hay un enfoque general, pero funciona en los radicales sólo para $n \leq 5$ . Dada,

$$x = \sqrt[n]{b+a\sqrt[n]{b+a\sqrt[n]{b+a\sqrt[n]{b+\dots}}}}$$

Suba a la $n$ de la potencia,

$$x^n = b+a\sqrt[n]{b+a\sqrt[n]{b+a\sqrt[n]{b+\dots}}}$$

O,

$$x^n = b+ax\tag1$$

La ecuación general de grado $n\leq5$ se puede transformar, en radicales, a esta forma con el caso $n=5$ llamado el Traer quintico . Por lo tanto, dada la raíz real positiva de $n$ -Cuadro de Nacci, $y^{-n}+y = 2$ entonces,

$n = 2$ : Constante de Fibonacci $y$ :

$$y = \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\dots}}}} = 1.618033\dots$$

$n = 3$ : Constante de Tribonacci $y$ :

$$y(3-y) = \sqrt[3]{14-2\sqrt[3]{14-2\sqrt[3]{14-2\sqrt[3]{14-\dots}}}} = 2.134884\dots$$

$n = 4$ : Constante de Tetranacci $y$ :

$$y(3-y) = \sqrt[4]{41-11\sqrt[4]{41-11\sqrt[4]{41-11\sqrt[4]{41-\dots}}}} = 2.06719\dots$$

$n = 5$ : Constante de Pentanacci $y$ :

$$\text{doable, but complicated}$$

Todavía puede hacerlo para $n=5$ pero el LHS será más complicado y $a,b$ serán números algebraicos con raíces cuadradas y cúbicas. Pero si tienes curiosidad por saber cómo transformar el quíntico general en la forma $(1)$ , ver este puesto .

P.D. Déjame adivinar. Encontraste ese otro radical anidado para la constante de tribonacci en este sitio web ?