Graficación $x^{3 / 2} + y^{3/2} =1$

Question

Mi hermano me preguntó lo que yo pensaba que era una pregunta bastante sencilla, gráfica de la siguiente función más de los números reales:

$$ x^{3/2} + y^{3/2} = 1.$$

Ahora, por supuesto, no podemos tener valores negativos en la plaza de las raíces, por lo que la gráfica se ve 'similar' a la gráfica de una norma círculo en el +X+Y cuadrante del plano XY. Esto es todo bien y bueno, la próxima sin embargo, sino que simplemente se reorganizó la fórmula:

$$ y = \left(\left( 1-x^{3/2}\right)^{1/3}\right)^2$$

Y aquí es donde la confusión comenzó. Ahora, es claro que la sustitución de un gran valor de x sería simplemente producir un gran valor negativo en el interior del soporte, ajustando este sería simplemente hacer que el valor positivo. Así que ahora la gráfica de la función contiene todos los puntos que componen el gráfico original, además de otra rama de valores:

Esto es inesperado. Lo que paso en mi álgebra permite a estos valores positivos?

Answer 1

Sucedió cuando ambos lados al cuadrado de

$$y^{1/2}=\left(1-x^{3/2}\right)^{1/3}\;.$$

Considere la posibilidad de una similar pero más simple ejemplo: $y^{1/2}=x$; claramente $y=x^2$, pero debido a que el cuadrado borra el signo, también es cierto que $y=(-x)^2$, aunque en la ecuación original $y^{1/2}=x$ debemos tener $y\ge 0$.

Answer 2

$\sqrt y=f(x)$ no es equivalente a $y=f^2(x)$, simplemente.

(Introducir un extra de solución de $\sqrt y=-f(x)$. Usted debe hacer cumplir las $f(x)\ge 0$, lo que equivale a $x\le1$ aquí).

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Dicho de otra manera, el dominio de la raíz cuadrada es la actitud positiva de reales, de modo que la curva está restringido a $x,y\ge0$.

Y el rango de la rama principal de la raíz cuadrada se limita a la positiva reales, así que (después de la simple cálculo) la curva está restringido a $x,y\le1$.

Al reordenar la ecuación, que permite soluciones que invalidan el rango de condición (raíz cuadrada que se obtiene un valor negativo).

Answer 3

El exponente es 3/2 , un cubo de la raíz cuadrada, por lo que deben llevar los dos signos $ \pm $ asociado con la raíz cuadrada incluso si no se indica explícitamente.Hay una combinación de tres curvas dependiendo de (+,+),(+,-)(-,+)opciones como se muestra.

$$ \pm\; x^{3/2} \pm y^{3/2} = 1 $$

( Ninguno de ellos son de segundo grado, por supuesto, incluso si es así por las apariencias).

$$ x^{3/2} + y^{3/2} = 1 .. (1*) $$

es una slim "círculo" y

$$ x^{3/2} - y^{3/2} = 1 ..(2*) $$

es una slim "hipérbola rectangular", que tiene en la cúspide de tocar el eje-x.

$$ -x^{3/2} + y^{3/2} = 1 ..(3*) $$

es una slim "hipérbola rectangular", que tiene en la cúspide de tocar el eje-y.

EDIT1:

Cada cuadrado de la raíz tiene un $ \pm $ implícitas siempre en su relacional de la existencia. El reconocimiento o la elección no puede negar la implicación de su existencia.

Aunque algunas curvas con simetría son los mejores trazados de forma paramétrica, sólo el primer cuadrante se trata en este caso en particular debido al número 4 en el numerador del exponente:

ParametricPlot[ {Cos[u]^(4/3), el Pecado[u]^(4/3)}, {u, 0 , 2 Pi}],

pero el "hyperbolae" necesidad de dominio adecuado elección.

ParametricPlot[ {S[u]^(4/3), de color marrón[u]^(4/3)}, {u, -Pi/3, Pi/3}].

EDIT2:

He añadido egreg del sextics con mi $ \pm $ dos curvas

$$ ( x^3 \mp y^3 )^2 - 2 ( x^3 \pm y^3)^2 + 1 = 0 ... (4*) $$

en Rojo y Azul ..mostrando cómo el derecho de todos!

Answer 4

Es debido a la ambigüedad: es $y^{1/2}$ positivo o negativo? donde $y^{1/2}$ podría ser definido para ser una solución de $z^2=y$.

Si usted ordena de otra manera, se obtiene una tercera curva, que es la imagen de espejo de la segunda curva. $$x=\left(\left(1-y^{3/2}\right)^{1/3}\right)^2$$

Answer 5

Debe ser un comentario. Si usted permite que tanto los signos de la raíz cuadrada: $x^{\frac{3}{2}}+y^{\frac{3}{2}}=1$ puede ser dos veces el cuadrado de la $x^3=(1-y^{\frac{3}{2}})^2=1-2y^{\frac{3}{2}}+y^3$$2y^{\frac{3}{2}}=1+y^3-x^3$, lo $4y^3=(1+y^3-x^3)^2$ y este tiene la parcela:

Lo que vemos es que el $(\sqrt{x})^3+(\sqrt{y})^3=1$ es parte de la sextic, donde $(-\sqrt{x})^3+(\sqrt{y})^3=1$ $(\sqrt{x})^3+(-\sqrt{y})^3=1$ son las otras ramas.