entero de soluciones para $x(x-1)+y(y-1)=xy$

Question

Estoy en la escuela secundaria y ahora me gustaría aprender a abordar este tipo de problemas. Creo que esto se llama un diophantine eqution. Muchísimas gracias

Esto es lo que me saca, solo para que lo sepan el trabajo realizado (aunque dudo de su utilidad)

$x|x(x-1)+y(y-1) \rightarrow x|y(y-1)$

$y|x(x-1)+y(y-1) \rightarrow y|x(x-1)$

Answer 1

SUGERENCIA:

En el reordenamiento, $$x^2-x(1+y)+y^2-y=0$$ which is a Quadratic equation in $x$

El discriminante es $(1+y)^2-4(y^2-y)=1-3y^2+6y=4-3(y-1)^2$

Real $x, 4-3(y-1)^2\ge0\implies (y-1)^2\le\frac43\implies -\frac2{\sqrt3}\le y-1\le \frac2{\sqrt3}$

Como $\frac2{\sqrt3}<2, -2<y-1<2\iff-1<y<3$

Como $y$ es un entero, $0\le y\le2$

La prueba para cada valor

Answer 2

Esta particular de la curva es una elipse, que se puede ver mediante la conexión a wolfram alpha o por lo expresa en forma estándar, que es $x^2-xy+y^2-x-y=0$ y considerando el discriminante, que en este caso es $-3$.

Esta particular de la elipse se ha entero soluciones $(0,0)$, $(1,0)$, $(0,1)$, $(1,2)$, $(2,1)$, $(2,2)$ que se puede encontrar por la inspección. No hay más, porque la elipse es sólo tan grande.

Answer 3

Primera nota de que $2|xy|\le x^2+y^2$, entonces por la ecuación debemos tener $|x|+|y|\ge \frac{1}{2}(x^2+y^2)$, lo que implica que $(x\pm 1)^2+(y\pm1)^2\le2$. La única cosa que queda es comprobar que $(x,y)$ que cumplan esta condición.