Si $\sum A_n$ converge, no $\sum A_n x^n$ convergen uniformemente en $[0,1]$?

Question

Pregunta: Si $\sum_{n=0}^\infty A_n$ converge, lo hace de la serie $\sum A_n x^n$ convergen uniformemente en $[0,1]$?

Pointwise convergencia es bastante fácil de ver, y de manera intuitiva creo que la serie converge uniformemente así, pero estoy teniendo problemas para mostrar que en la prueba. De hecho, si queremos arreglar $\varepsilon > 0$ y obtener un $N$ por la convergencia de la $\sum A_n$, no es universalmente cierto que $|\sum_{n=q}^p A_n x^n| \leq |\sum_{n=q}^p A_n| < \varepsilon$ siempre $p \geq q \geq N$. También trató de utilizar la instrucción $|\sum_N^\infty A_n x^n| < |\sum_N^\infty x^n|$ pasado algún punto donde $|A_n| < 1$, pero esto sólo se da pointwise convergencia.

Tal vez podemos dividir el intervalo en $[0, \xi]$$[\xi, 1]$, el primer intervalo de convergencia de manera uniforme utilizando la geometría de la propiedad y el segundo de alguna otra cosa?

Answer 1

La respuesta es sí. Utilizamos parcial de la suma de (utilizados para demostrar el teorema de Abel) para obtener una estimación de la suma de Cauchy.

Deje $B_n=\sum_{k=m}^n A_k$. Así, por el Criterio de Cauchy, para cualquier $\epsilon>0$, hay un $N$ tal que $$ |B_n|<\epsilon \quad\text{cuando }\quad n,m>N\tag1 $$ Tenemos \begin{align} \sum_{k=m}^n A_kx^k&=\sum_{k=m}^n (B_k-B_{k-1})x^k \\ &=\sum_{k=m}^n B_kx^k -\sum_{k=m}^n B_{k-1}x^k \\ &=\sum_{k=m}^{n-1} B_k(x^k-x^{k+1})+B_nx^n\tag{2} \end{align} Nota: $B_{m−1}=0$.

Desde $\lim_{n\to\infty}x^n$ existe y $\:x^n \downarrow$$[0,1]$, para todos los $k>0$ $x\in[0,1]$ hemos $$ x^k-x^{k+1}\geqslant0\: $$ Ya que para todos $k>m$, $-\epsilon<B_k<\epsilon$ $$ |B_k(x^k-x^{k+1})|<\epsilon(x^k-x^{k+1})\tag3 $$ Así que para todos los $n,m>N-1$$x\in[0,1]$, por $(1)$, $(2)$ y $(3)$ hay \begin{align} \left|\sum_{k=m}^n A_kx^k\right|&\leqslant\sum_{k=m}^{n-1} |B_k(x^k-x^{k+1})|+|B_nx^n| \\ &\leqslant\sum_{k=m}^{n-1} \epsilon\:(x^k-x^{k+1})+\epsilon \:x^n \\ &=\epsilon \:(x^m-x^n+x^n) \\ &=\epsilon \:x^m \\ &\leqslant \epsilon \end{align} Así, por el Criterio de Cauchy, $\sum_{k=1}^{\infty} A_kx^k$ converge uniformemente en $[0,1]$.

Answer 2

Podemos utilizar Abel del teorema de sí mismo aquí.

$ \sum A_n $ es uniformemente convergente (como es libre de 'x').

Y la secuencia {$ {x^n} $} es monótona decreciente y acotada en (0,1).

Por lo tanto, del teorema de Abel, $\sum A_nx^n$ es uniformemente convergente.