Podemos tener un incontable número de puntos aislados?

Question

Es esto posible? He estado tratando de pensar en un ejemplo o defender por qué no, y yo estoy luchando en ambas direcciones.

Answer 1

Desde que uso el real-análisis de etiqueta, voy a suponer que usted está hablando acerca de la $\Bbb R$ con la topología usual. Si es así, la respuesta es no: cada subconjunto discreto de $\Bbb R$ es contable.

Para ver esto, observe primero que el conjunto $\mathscr{B}$ de intervalos abiertos con racional de los extremos es un contable de base para la topología. Ahora supongamos que $D\subseteq\Bbb R$ es discreto. A continuación, para cada una de las $x\in D$ no es un porcentaje ($B_x\in\mathscr{B}$tal que $B_x\cap D=\{x\}$. $\mathscr{B}$ es contable, por lo que si $D$ fueron innumerables, no tendría que ser distintos puntos de $x,y\in D$ tal que $B_x=B_y$, lo cual es absurdo: que significaría que

$$\{x\}=B_x\cap D=B_y\cap D=\{y\}\;,$$

sin embargo,$x\ne y$.

Si usted está haciendo la pregunta en general, sin embargo, en lugar de hablar de $\Bbb R$ con la topología usual, entonces la respuesta es sí; Ross Millikan ha dado un ejemplo sencillo.

Answer 2

No se especifica el espacio que está trabajando, ni la topología. El ejemplo más sencillo que se me ocurre es $\Bbb R$ con la topología discreta. Todos los puntos son aislados.

Answer 3

Como otros han señalado, mientras que el estándar de la topología de $\mathbb R$ (o $\mathbb R^n$) no admite innumerables subconjunto discreto, otros espacios topológicos (tales como, trivialmente, $\mathbb R$ con la topología discreta) contiene tales subconjuntos.

Esto es posible incluso para un localmente espacio Euclidiano, siempre que se trata simplemente de "lo suficientemente grande". Un ejemplo es el "long line" obtenidos por pegando un número incontable de (específicamente, $\omega_1$) copias de la unidad de intervalo. El largo de la línea es localmente homeomórficos a $\mathbb R$, y también equinumerous con ella, sin embargo, en un cierto sentido topológico mucho "más" — por ejemplo, no es metrizable o segundo contables. También, claramente, picking, decir, el punto medio de cada una de las unidades de los intervalos de los rendimientos de un incontable discretos subconjunto de la línea larga, mientras que la línea real no tiene ninguno.

De hecho, Brian M. Scott argumento , naturalmente, se generaliza a cualquier segundo contables espacio, mostrando que no hay tal espacio puede tener un incontable discretos subconjunto.

(A la inversa, sin embargo, no se sostiene: hay espacios que no son de segunda contables, pero que no tienen un incontable discretos subconjunto. Un ejemplo sencillo es el cociente del espacio de $\mathbb R / \mathbb Z$, es decir, el espacio obtenido al tomar la recta real y "pegando" todos los enteros. Este espacio no es ni la segunda, ni siquiera la primera contables (porque el "punto central", formada por la pegada junto enteros no tiene contables barrio de base), sin embargo, cualquier innumerables discretos subconjunto de la misma (que podemos suponer que no incluye el punto central, ya que se puede quitar sin afectar countability) también tendría que ser discreto como un subconjunto de a $\mathbb R$.)

Answer 4

En $\mathbb{R}$ con la topología usual, la respuesta es no, pero la razón es un poco más complicado que "hay una contables densa". Considerar la topología en $\mathbb{R}$ generado por $\{X\subseteq\mathbb{R}: 0\in X\}$, es decir, un conjunto es abierto si está vacía o contiene $0$. A continuación, $\{0\}$ es densa, pero si dejamos $A=\mathbb{R}-\{0\}$, entonces cada elemento de a $A$ es un punto aislado de a $A$.

Answer 5

En la topología discreta, cada singleton $\{ x\}$ es abierto y, por tanto, es un barrio con sólo $x$: lo $x$ es aislado.