Le pregunte a una pregunta general que es difícil responder completamente... Aquí es un flojo y sin terminar una colección de pensamientos que podrían ser utilizados para desarrollarse de una forma más elegante de respuesta.
Supongo que una de las principales razones para el interés en polaco espacios es una combinación de la simplicidad del concepto y el hecho de que uno puede lograr razonable generalidad y utilidad fuera de la esfera de descriptivo de conjunto de la teoría misma.
La definición en sí es fácil de entender: uno apenas necesita más que un primer curso de análisis real para tener los antecedentes necesarios para ser capaces de comprender la definición.
El ajuste es conveniente: topológicos y medida de la teoría de patologías se mantiene a un mínimo. Muchos objetos de interés están cubiertos.
Polaco espacios permiten obtener resultados de gran potencia, más que suficiente para cotidianas de las matemáticas'.
Una de las razones es sin duda que los polacos espacios razonables cierre de propiedades, por ejemplo, de que están cerrados en tomar contables productos y pasando a abierto, cerrado o, más generalmente, $G_{\delta}$-subespacios. También fue mencionado en otra respuesta que, en muchos campos, uno nunca realmente se preocupa acerca de los objetos que no están polaco espacios, por lo que los resultados acerca de los polacos espacios están "suficientemente buenos".
Una razón más es que los polacos espacios son "bien comportado": no se puede ser "demasiado grande" o "demasiado intangible', así que varios 'molesto' patologías son excluidos. Los hechos que admitir un abrir surjection desde el espacio de Baire y que pueden ser incrustadas en el cubo de Hilbert se puede utilizar para reducir preguntas sobre el general polaco espacios a los espacios que uno entiende relativamente bien.
Especialmente la 'universalidad' de la Baire espacio permite potente, más explícita, las técnicas de codificación, como Lusin y esquemas de Suslin. Estos códigos pueden ser explotadas para dar explícita construcciones (garantizando la mensurabilidad) de las secciones para surjections, o selecciones de puntos en las familias de conjuntos, que es muy útil en diversas aplicaciones donde las funciones obtenidos directamente a partir del Axioma de Elección no son lo suficientemente buenas, debido a su potencial falta de mensurabilidad.
Sin duda, los conjuntos de Borel de polaco espacios son tan importantes en aplicaciones como el polaco mismos espacios. En la teoría de la probabilidad a menudo hay una explícita o implícita la suposición de que la medida subyacente espacios son estándar espacios de Borel.
Ya de preguntar acerca de las aplicaciones, permítanme mencionar algunas de ellas.
Fuera de descriptivo de la teoría de conjuntos, polaco espacios son omnipresentes: la mejor comprendido objetos son polacos: la mayoría de los espacios que surgen en contextos geométricos y de buen comportamiento cosas como localmente compacto segundo contables de los espacios y de los grupos, los colectores, los espacios de Banach separables y álgebras, y así sucesivamente. Por otro lado, son casi una herramienta indispensable para el manejo de "domar" medible espacios (estándar de Borel espacios) en la teoría de la probabilidad y ergodic theory.
La teoría de la probabilidad es sin duda uno de los principales campos de aplicación, el polaco o el estándar de Borel espacios permiten la formulación de la prueba de Kolmogorov del teorema de consistencia, la construcción de los condicionales expectativas y Prokhorov del teorema útil de la generalidad. Además, las medidas en polaco espacios tienen buenas propiedades de regularidad y uno tiene un dolor de formulación de si la representación de Riesz teorema. Las aplicaciones incluyen la construcción de secuencias de variables aleatorias con lo prescrito distribuciones y el tratamiento de los procesos de Markov discretas. Véase, por ejemplo, Parthasarathy del libro sobre la Probabilidad de medidas métricas espacios, para una exposición de estos resultados que no requieren mucho de fondo en la probabilidad.
Las personas interesadas en la teoría de la probabilidad, ergodic theory o análisis funcional (operador de la teoría y de la teoría de la representación) probablemente no están demasiado interesados en polaco espacios como tal, sino que se cristaliza con el tiempo que muchos de los más profundo de los resultados de su dominio son bastante satisfactoriamente cubierto por el general teoremas en polaco espacios (o sus subyacente espacios de Borel).
Una serie de famosos matemáticos utilizados polaco espacios en parte de su trabajo y ha contribuido al reconocimiento del concepto central a una parte no despreciable de las matemáticas:
Blackwell argumentó con éxito que muchas de las patologías inherentes a la prueba de Kolmogorov el enfoque de la teoría de la probabilidad puede ser evitado mediante la restricción de la atención estándar de Borel espacios.
Rokhlin logrado cosas similares en sus tesis sobre ergodic theory.
Choquet en su trabajo sobre la teoría potencial (según lo expuesto en la norma tratados por Dellacherie-Meyer o Doob).
Mackey (y más tarde Effros) en la teoría de la representación de localmente compacto grupos y álgebras de Banach y sus aplicaciones a la mecánica cuántica.
Zimmer se utiliza polaco espacios fundamentalmente en su enfoque de la teoría de Margulis de celosías en semisimple Mentira grupos ("super-rigidez").
Todos estos matemáticos no sólo aplicar los resultados existentes descriptivo de la teoría de conjuntos, sino que también contribuyó de nuevo a la teoría general con sus propios puntos de vista (partición de teoremas, la teoría de las capacidades, la selección de teoremas, etc.). Esta breve lista muestra ya que los polacos, los espacios son de interés para los matemáticos con lo demás, bastante distinto enfoque.
Una central prominente resultado es el teorema sobre la desintegración de las medidas. Aparte de la probabilístico aplicaciones enlazadas en la página de la Wikipedia (por ejemplo, probabilidades condicionales), es también una parte central de la 'Mackey máquina" en teoría de la representación (a grandes rasgos, la descomposición de las representaciones en directo integral de representaciones irreducibles) y se utiliza en todo ergodic theory en el disfraz de la "ergodic descomposición'.
Para resumir este intento de respuesta: hay un gran interés desde el exterior descriptivo de la teoría de conjuntos, lo cual motiva un mayor estudio.
Los libros de Kechris y Srivastava ambos dan un buen panorama de numerosas aplicaciones básicas de otras ramas de las matemáticas, mientras se desarrollan los fundamentales de la maquinaria.
En los últimos días ha habido un considerable interés en Borel las relaciones de equivalencia, ver, por ejemplo, el trabajo de Hjorth y diversas encuestas por Kechris.
