Encontrar $\int \ln(\tan(x))/(\sin(x) \cos(x))dx$

Question

Me fue dada esta pregunta en un paquete de revisión, y que me tiene perplejo:

Empecé usando la identidad de $\tan(x) = \sin(x) / \cos(x)$ y, a continuación, utiliza el hecho de que $\sin(x) \cos(x) = .5\sin(2x)$ a intentar simplificar el denominador. Miré a mi alrededor para un básico $u$ de sustitución, pero no pudo encontrar ninguna. Se me rompió el $ln(\sin(x)/\cos(x))$ a $\ln(\sin(x)) - ln(cos(x))$ pensando que tal vez podría dividir la integral en dos y que podría ayudar, pero fue en vano. El uso de las partes se ve muy desordenado y estoy bastante perdido en este punto, alguien sabe cómo llegar a mí en el camino correcto?

Answer 1

Deje $u = \ln(\tan x)$. Es más sencillo de lo que piensas.

Answer 2

Poner $\ln \tan x =t$

por lo tanto $${\sec^2x \over \tan x} \, \mathrm dx=\mathrm dt$$

$$\mathrm dx={\mathrm dt \, \sin x \cos x}$$

Sustituir estos valores en la integral

$$I=\int t \, \mathrm dt$$

$$I={t^2 \over 2}+constant$$

$$I={(\ln (\tan x))^2 \over 2}+constant$$

Answer 3

\begin{eqnarray} \int\frac{\ln\tan x}{\sin x\cos x}dx&=&\int\frac{\ln\tan x}{\tan x}\sec^2xdx =\int\frac{\ln\tan x}{\tan x}d\tan x\\ &=&\int\ln\tan xd\ln\tan x=\frac{1}{2}(\ln\tan x)^2+C \end{eqnarray}