En mis notas, hay una declaración titulada "Nulstellensatz versión 2":
Si $k = \bar{k}$, e $\mathfrak{m} \subseteq k[x_1,\ldots,x_n]$ es un ideal maximal, entonces $k[x_1,\ldots,x_n]/\mathfrak{m} \cong k$.
Asumo "versión 2" implica que es equivalente a la habitual versión, que dice:
Si $k = \bar{k}$, $\mathfrak{a} \subseteq k[x_1,\ldots,x_n]$ es un ideal y $f \in k[x_1,\ldots,x_n]$ es un polinomio que se desvanece en todos los puntos en $Z(\mathfrak{a})$, $f^r \in \mathfrak{a}$ para algún entero positivo $r$.
Puedo ver que la "versión 2" de la siguiente manera a partir de la "regular" de la siguiente manera:
Versiones habituales $\implies$ $I(Z(\mathfrak{a})) = \sqrt{\mathfrak{a}}$ para los ideales de la $\mathfrak{a}$$k[x_1,\ldots,x_n]$. También tenemos los siguientes fácil de comprobar:
i) $Y_1 \subseteq Y_2 \subseteq k^n \implies k[x_1,\ldots,x_n] \supseteq I(Y_1) \supseteq I(Y_2) $;
ii)$T_1 \subseteq T_2 \subseteq k[x_1,\ldots,x_n] \implies k^n \supseteq Z(T_1) \supseteq Z(T_2)$ y
iii) $Y \subseteq k^n$ es irreducible si y sólo si $I(Y) \subseteq k[x_1\ldots x_n]$ es primo.
iv) primer ideales son radicales
La combinación de esta información le da a ese $Z$ $I$ dar una inclusión-revertir la correspondencia entre (irreductible) afín subvariedades de $k^n$ y el primer ideales en $k[x_1,\ldots,x_n]$. Así que si $\mathfrak{m}$ es un ideal maximal, entonces corresponde a un mínimo irreductible subconjunto cerrado de $k^n$ (desde $\mathfrak{m}$ es el primer y máximo), que debe ser un punto de $\{p = (p_1,\ldots,p_n)\}$. Por lo $\mathfrak{m} = I(p)$, lo que uno puede ver es sólo $\langle (x_1-p_1)\cdots(x_n-p_n) \rangle$. Por lo $k[x_1,\ldots,x_n]/\mathfrak{m} \cong k$ a través de la "evaluar en $p$" del mapa.
Mi pregunta es esta: ¿la "costumbre de la versión de" seguir a partir de "versión 2" y, si es así, ¿cómo?
Gracias.
