Lo que se sabe acerca de estas funciones aritméticas?

Question

Vamos $n=\prod_p p^{c_p}$, $N\in \mathbb N$ y $$ \alpha_N(n)=\prod_p p^{c_p \bmod N}. $$ La función de $\alpha_N$ es multiplicativo desde $\alpha_N(n)\alpha_N(m)=\alpha_N(nm)$ co-prime $n$ $m$ y completamente multiplicativa para un subconjunto de a $\mathbb N$.

Además vamos a $$\log \alpha_N(n)= A_N(n)=\sum_p (c_p \bmod N) \p de registro. $$ Esto también me recuerda a una suma de una clase adaptada de von Mangoldt función, con la siguiente definición: $$ \Lambda^\estrella(n) = \begin{cases} \log p & \text{if }n=p^c \text{ for some prime } p \text{ and integer } c \ge 1 \text{ and } c\bmod N =1, \\ 0 & \text{otherwise.} \end{casos} $$

PS: Ya que el sabor de la pregunta ha cambiado, algunos de los comentarios que podría ser engañoso. Lo siento por eso...

Answer 1

Me gustaría llamar a esta función de la $N^{th}$-libre del poder de parte de $n$, que generaliza el $N=2$ caso de la squarefree parte de un entero.

Específicamente, tenemos que $$\alpha_N(n)=n\prod_{p^{kN}|n}\left(\frac{1}{p^{N}}\right),$$

y $\alpha_N(n)$ elimina todos los de la $N^{th}$ poderes que dividen $n$ dejando atrás la $N^{th}$-libre del poder de la parte. Se comparten muchas propiedades con los squarefree parte. Por ejemplo, $\alpha_N(n)=n$ cualquier $N^{th}$-libre de energía entero, que es un conjunto de densidad de $\frac{1}{\zeta(N)}$ en los enteros. El promedio de $\alpha_N(n)$ puede ser de computación en el uso de las técnicas en la respuesta Valor medio de una Función Multiplicativa cerca de $n$ en Términos de la Función Zeta. Ya que $$\mu*\frac{\alpha_{N}(n)}{n}=\begin{cases} 1 & k=0\\ 0 & k\neq0\ \text{mod}\ N\\ -\frac{p^{N}-1}{p^{aN}} & k=aN \end{casos} $$ and we find that $$\sum_{n\leq x}\alpha_N(n)=\frac{x^2}{2}\frac{\zeta(2N)}{\zeta(N)}+O(x\log x).$$ (The error term is $S(x)$ for all $N\geq 3$.) In particular, when $N=2$, we find that the squarefree part of $n$ has average $$\sum_{n\leq x}\alpha_2(n)=\sum_{n\leq x} \text{squarefree}(n)=\frac{x^2\pi^2}{30}+O(x\log x).$$ Similarly, the fourth-powerfree part of $n$ has average $$\sum_{n\leq x}\alpha_4(n)=\sum_{n\leq x}\text{fourth-powerfree-part}(n)=\frac{\pi^4x^2}{210}+O(x).$$