Prueba $AB=I$ implica $BA=I$ utilizando el lema de Fitting

Question

Sé que esta pregunta ya se ha hecho, pero

Necesito una prueba de que para $A,B \in M_n(K)$ , $$AB=I_n \Rightarrow BA=I_n$$ utilizando el lema de Fitting .

Pensé en utilizar el hecho de que $K^n$ es un simple $M_n(K)$ -pero no veo qué endomorfismo de $K^n$ Puedo utilizar el lema de Fitting en, ya que al multiplicar por $BA$ no es $M_n(K)$ -lineal.

Answer 1

Para una matriz dada $N\in M_n(K)$ el mapa $\phi_N:K^n\to K^n$ definido por $\phi_N(x)=Nx$ es un homomorfismo de $K$ -espacios vectoriales. Por el lema de Fitting hay dos subespacios $V,W\subset K^n$ tal que $K^n=V\oplus W$ , $\phi_N^k(V)=0$ para $k\ge n$ y $\phi_N$ es un automorfismo de $W$ .

Aplicamos el Lemma de Fitting al mapa $\phi_{BA}$ . Desde $AB=I$ obtenemos $(BA)^2=BA$ Es decir, $BA$ es idempotente. Como $(BA)^nx=0\ \forall x\in V$ obtenemos $(BA)x=0\ \forall x\in V$ . Además, multiplicando (a la izquierda) por $A$ obtenemos $Ax=0\ \forall x\in V$ . Esto demuestra que $V\subseteq\ker\phi_A$ . Desde $\phi_{AB}=1_{K^n}$ , de forma equivalente, $\phi_A\circ\phi_B=1_{K^n}$ sabemos que $\phi_A$ es suryente, y como $K^n$ es un espacio vectorial de dimensión finita concluimos que $\phi_A$ es biyectiva. De ello se desprende que $\ker\phi_A=0$ Así que $V=0$ y por lo tanto $\phi_{BA}$ es un automorfismo de $K^n$ Es decir, $\phi_{BA}$ es biyectiva. Esto implica que $BA$ es invertible (¿por qué?), y de $(BA)^2=BA$ obtenemos $BA=I$ .