¿Cuándo $(a^p-1)/(a-1)$ tener un $p$ ¿el factor de potencia?

Question

Hoy he observado que $(18^3-1)/(18-1) = 343 = 7^3$ y que no hay otras soluciones a la ecuación $(a^3-1)/(a-1) = b^3$ con $b \le 100000$ . Sin embargo, hay muchas soluciones a la ecuación $$ \frac{a^p-1}{a-1} = cb^p \qquad(\star) $$ para algún número entero $c \ge 1$ cuando $p=3$ .

Cuando $p=5$ Hay muchas menos soluciones para $(\star)$ dos de los cuales son $a=37107$ y $a=46709$ .

Mi pregunta es: ¿En qué condiciones $(\star)$ ¿tiene alguna solución? Esto está claramente relacionado con problemas como el último teorema de Fermat y la conjetura de Catalán, pero no es tan restrictivo, Por ejemplo No estoy exigiendo que $a-1$ también ser un $p$ de la potencia.

Answer 1

Esto debería ser un comentario, pero es demasiado largo para la función de comentarios

Los siguientes 3 ejemplos son de mi pequeño tratado en ese " cociente de fermat(Wikipedia) ", hecho en Pari/GP, donde el signo "%" significa la operación "mod", y debería (y da) como resultado "cero" en estos casos:

   a=324;         
   (a^3-1)/(a-1) % 7^3            \\ == 0

   a= 571634088997719       
   (a^11-1)/(a-1) % 23^11         \\ == 0

   a=4224889596704250828327920681323525885423422525151934668362656 \ 
      5404363754705104377419988318310806044652742101150754590906889 \ 
      1170830410597973985409981849727159498907290190733704144470440 \ 
      4036891977239754652500794951539355221519064613575802650426875 \ 
      6338497009455353525052 
   (a^113-1)/(a-1) % 227^113     \\ == 0

Hay arbitrariamente muchos casos de este tipo, pero el esquema es demasiado complicado para hacerlo aquí, pero de eso se trata exactamente mi tratado. Aquí está la "observación inicial" para mostrar cómo se procede;