$5^{2012}+1$ es divisible por $313$

Question

Probar que: $\displaystyle5^{2012}+1$ es divisible por $313$.

Lo intento y lo que yo sé:

$313$ es el prime y yo tratamos de utilizar la siguiente fórmula :

$$a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+\ldots\pm(-1)^{n}b^{n-1})$$

pero aún nada. este problema puede ser resuelto mediante un elemental de la prueba porque me pareció un matemático de la revista para niños la edad de 14 años.

Answer 1

$5^4=625\equiv -1\pmod {313}$ $626=2\cdot313$

Por eso, $5^{2012}=(5^4)^{503}\equiv (-1)^{503}\pmod {313}\equiv-1$

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Alternativamente, $5^4=625=313\cdot2-1$

Por eso, $5^{2012}=(5^4)^{503}=(313\cdot2-1)^{503}=(313\cdot2)^{513}+\binom {513}1(313\cdot2)^{512}(-1)^1+\cdots+\binom {513}{512}(313\cdot2)(-1)^{512}-1$

Observar que todos los excepto el último que es divisible por $313$

Así, el resto es decir, $5^{2012} \mod {313}$ $-1$

Answer 2

$$ \frac {5^{2012} + 1}{626} =\frac {5^{2012} + 1}{5^{4} + 1 } = \frac {(5^{4})^{503} + 1}{(5^{4}) + 1 } = \frac {a^{n} + b ^n }{a+b} $$

Donde $ a = 5^4 and\ $ $ b =1 \ and\ $ $ n=503 (odd)$

Concepto : $ {a^{n} + b ^n } $ es siempre un múltiplo de $ a+b\ $ cuando n es impar

.

así que esta división da resto $0 $.

Como $ 626 = 313 *2 $ también debe ser divisible por 313 .

por lo tanto $ \frac {5^{2012} + 1}{313} $ da resto $ 0 $.

por lo que su divisible por 313 .

De ahí resultó

Answer 3

$5^{2012}+1=(5^4)^{503}-(-1)^{503}$, lo $5^4-(-1)|5^{20212}+1$ por último, tomamos nota de que $313|5^4-(-1)$. Esto es debido a que $5^4-(-1)=626=2(313)$

Answer 4

Acaba de utilizar el hecho de que $a+b$ divide $a^n+b^n$ si $n$ es impar.

Aquí $5^4+1=626$ divide $(5^4)^{503}+1^{503}=5^{2012}+1$.