La visualización de la Mentira de los grupos.

Question

Me gusta visualizar mentira grupos como los flujos en algunos colector.

Por ejemplo:

$SO(2)$ puede ser visualizado como rotaciones de $S^1$, y la mentira del álgebra como constante campos vectoriales en $S^1$.

O $SO(1,1)$ puede ser visualizada como los flujos de hipérbola $\{ (x,y) : x^2-y^2 = 1 \}$.

En general puedo visualizar Mentira grupo subgrupo de diffeomorphisms de algunos de los múltiples y elementos de álgebra de la mentira como campo de vectores en este colector

A partir de estas visualizaciones se puede ver que $SO(2)$ está conectado y su exponencial de la asignación es en pero uno-a-uno. Y que $O(2)$ tiene dos componentes. O que $O(1,1)$ tiene cuatro componentes.

Así que me gustaría saber si me pueden visualizar otros grupos como el grupo de Heisenberg, simpléctica grupo?

Es allí una manera de cómo puedo ver que Yacen en el grupo simplemente se conecta?

Answer 1

Aquí hay algunos ejemplos más fácilmente puede "visualizar":

1. $SO(3)$ es isométrico para el espacio proyectivo $\mathbb R P^3$, cuando ambos están equipados con las métricas estándar. Su Mentira álgebra $(\mathfrak{so}(3),[,])$ es isomorfo a $(\mathbb R^3,\times)$ dotado de la cruz del producto;

2. $SO(4)$ es isométrico a $S^3\times S^3/\mathbb Z_2$, el cociente del producto de dos $3$-esferas de involución;

3. $SU(2)$ es isométrico a la $3$-esfera $S^3$, cuando ambos tienen la métrica estándar. También la simpléctica grupo $Sp(1)$ es isomorfo a $SU(2)$. Como tal, $SU(2)$ $Sp(1)$ el (universal) de cubierta doble de $SO(3)=\mathbb R P^3$.

En particular, todos los de arriba son compactos y conectado Mentira grupos.