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Descripción de RR R un anillo de enteros

Si K/k es un finita de Galois de la extensión de los campos, con grupo de Galois G, hay un isomorfismo K k KσiG K dado enviando ab (...,σi(a)b,...)y se extiende linealmente. Este es aún un isomorfismo de K-espacios vectoriales, donde aK está actuando por multiplicación en el primer factor en KK, y por la multiplicación por (σi(a))σiK. También hay una obvia k[G]-módulo de estructura de la que se conserva.

Mi pregunta es ¿qué pasa si en lugar de K, podemos considerar RSR donde R S son los anillos de enteros de los campos de número de K k respectivamente. Traté de jugar con cuadrática extensiones, y estoy bastante seguro de que el mismo mapa de arriba de RR Rno es surjective, por lo que el mismo argumento no funciona? Hay una buena descripción de la RR como R módulo, o una S[G] módulo?

Gracias.

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YequalsX Puntos 320

Deje Δ el valor del discriminante de RS. Entonces uno tiene que R[1/Δ]SR[1/Δ]=σGR[1/Δ]. Por otro lado, es falso sin invertir Δ.

Consideremos por ejemplo el caso más simple: Z[i]ZZ[i]=Z[i][x]/(x2+1)=Z[i][y]/y(y2) (donde para el final de la igualdad, que establece y=ix+1).
Si queremos invertir 2, entonces podemos reescribir esto como Z[i,1/2][z]/z(z1) (configuración de la z=y/2), que es un producto de dos copias de Z[i,1/2].

Pero Espec Z[i]/y(y2) está conectado (solo contiene un punto de mentir durante el primer 2Z), y por lo tanto no forma de factor no trivial de producto.

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