Descripción de $R \otimes R$ $R$ un anillo de enteros

Question

Si $K/k$ es un finita de Galois de la extensión de los campos, con grupo de Galois $G$, hay un isomorfismo $$ K \ \otimes_k \ K \simeq \oplus_{\sigma_i \in G} \ K$$ dado enviando $a \otimes b$ $ (..., \sigma_i(a) b, ...)$y se extiende linealmente. Este es aún un isomorfismo de $K$-espacios vectoriales, donde $a \in K$ está actuando por multiplicación en el primer factor en $K \otimes K$, y por la multiplicación por $(\sigma_i(a))$$\oplus_{\sigma_i} K$. También hay una obvia $k[G]$-módulo de estructura de la que se conserva.

Mi pregunta es ¿qué pasa si en lugar de $K$, podemos considerar $R \otimes_S R$ donde $R$ $S$ son los anillos de enteros de los campos de número de $K$ $k$ respectivamente. Traté de jugar con cuadrática extensiones, y estoy bastante seguro de que el mismo mapa de arriba de $R \otimes R$ $\oplus R$no es surjective, por lo que el mismo argumento no funciona? Hay una buena descripción de la $R \otimes R$ como $R$ módulo, o una $S[G]$ módulo?

Gracias.

Answer 1

Deje $\Delta$ el valor del discriminante de $R$$S$. Entonces uno tiene que $R[1/\Delta]\otimes_S R[1/\Delta] = \prod_{\sigma \in G} R[1/\Delta].$ Por otro lado, es falso sin invertir $\Delta$.

Consideremos por ejemplo el caso más simple: $$\mathbb Z[i] \otimes_{\mathbb Z} \mathbb Z[i] = \mathbb Z[i][x]/(x^2+1) = \mathbb Z[i][y]/y(y-2)$$ (donde para el final de la igualdad, que establece $y = -ix+1$).
Si queremos invertir $2$, entonces podemos reescribir esto como $\mathbb Z[i,1/2][z]/z(z-1)$ (configuración de la $z = y/2$), que es un producto de dos copias de $\mathbb Z[i,1/2]$.

Pero Espec $\mathbb Z[i]/y(y-2)$ está conectado (solo contiene un punto de mentir durante el primer $2$$\mathbb Z$), y por lo tanto no forma de factor no trivial de producto.