Encontrar las raíces o la división de campo de un polinomio dado su grupo de Galois

Question

Un conocido resultado de la teoría de Galois es que las raíces de un polinomio se puede expresar mediante una fórmula utilizando las operaciones de campo y toma de $k$-th raíces, si y sólo si el grupo de Galois del polinomio es solucionable.

¿Cómo podría usted realmente encontrar una fórmula dada una solución de que el grupo de Galois?

Por ejemplo, he intentado encontrar una raíz del polinomio $f(x) = x^3-x-1$ (sé que existen fórmulas para que las raíces de polinomios con grado de $< 5$, pero estoy esperando un enfoque más general).

La observación de que $f$ es irreductible, y que $f(x)$ tiene sólo una raíz real, no es difícil mostrar que $Gal(E/\mathbb{Q}) \simeq S_3$ (donde $E$ es la división de campo de la $f$ ), debido a que es un subgrupo de $S_3$ y en los subgrupos de orden 2 (complejo conjugación) y actúa transitivamente sobre el conjunto de las raíces. Desde $S_3$ es solucionable, sabemos que $E$ está contenida en una expansión radical de $\mathbb{Q}$.

Cómo te gustaría ir de aquí para encontrar las raíces? Existe un enfoque general o algunos trucos que se pueden utilizar? Yo simplemente no puede seguir la prueba del teorema que garantiza la existencia de una expansión radical, porque yo tendría que conocer los automorfismos.

Answer 1

Me parece que estoy dando un montón de respuestas que dependen de las propiedades especiales de el ejemplo suministrado. He aquí un argumento, adaptado a su polinomio $f(x)=x^3-x-1$. No es el método general que esperaba en absoluto.

Primer set $\alpha$ a ba una raíz del polinomio, que todos sabemos que es irreducible sobre $\Bbb Q$. No es demasiado duro para calcular el discriminante de el anillo de $\Bbb Z[\alpha]$ como norma abajo a$\Bbb Q$$f'(\alpha)=3\alpha^2-1$; este número es $23$, sorprendentemente pequeño para un cúbicos de extensión. El hecho de que la plaza libre implica que $\Bbb Z[\alpha]$ es el anillo de enteros en el campo de $k=\Bbb Q(\alpha)$.

Nuestro campo de $k$ claramente no es totalmente real, ya $f$ tiene sólo una raíz real. Por lo que en la jerga de la teoría algebraica de números, $r_1=r_2=1$, uno real y uno (par de) complejo de incrustación de objetos(s). Podemos aplicar la Minkowski Obligado $$ M_k=|\Delta_k|\left(\frac4\pi\right)^{r_2}\frac{n!}{n^n}\,, $$ que para $n=3$ da un salto de menos de $2$, por lo que el $\Bbb Z[\alpha]$ es automáticamente un director ideal de dominio.

Vamos factor el número de $23$ hay: ciertamente sabemos que no es primo, ya $23$ es ramificado. Ahora, ya sabemos que un número de norma $23$, necesariamente un divisor primo de el entero$23$,$3\alpha^2-1$, y, de hecho,$23/(3\alpha^2-1)=4 + 9\alpha - 6\alpha^2$. Pero mejor que eso, $23/(3\alpha^2-1)^2=3\alpha^2-4$. Este número tiene norma $23$ (debido a que la norma de $23$ sí es $23^3$). Así que he encontrado la factorización completa de $23$.

Ahora echemos un vistazo más de cerca a $f(x)=(x-\alpha)g(x)$, para un polinomio $g$ que podemos descubrir por Euclidiana de la División de a $g(x)=x^2+\alpha x+\alpha^2-1$. Y las raíces de $g$ son las otras raíces de $f$; la Fórmula Cuadrática le dice a usted lo que son, y el discriminante de $g$$\alpha^2-4(\alpha^2-1)=4-3\alpha^2$. que ya sabemos como $-23/(3\alpha^2-1)^2$. Volviendo a la Fórmula Cuadrática, otras de nuestras raíces $$ \rho,\rho'=\frac{\alpha\pm\sqrt\delta}2\>,\>\delta=\frac{-23}{(3\alpha^2-1)^2}\>,\>\sqrt\delta=\frac{\sqrt{-23}}{3\alpha^2-1}\>. $$ Y que le da su raíces de este uno muy especial cúbicos polinomio en términos de una raíz $\alpha$$\sqrt{-23}$.

Answer 2

También me he topado con la misma pregunta sólo unos meses antes, y mientras va a través de los libros sobre la Teoría de Galois, no está clara la respuesta encontrada a mí (en ese momento), excepto algunas de las sencillas ilustraciones hechas en el libro de la Teoría de Galois - Ian Stewart. Esto puede no ser una respuesta completa a su pregunta, pero el último párrafo citado aquí diría que esto puede ser difícil de obtener las raíces de la Teoría de Galois.

8.3 Cómo Utilizar el Grupo de Galois

Como un ejemplo, considere la ecuación polinómica $f(t)=t^4−4t^2−5 = 0$ ... factorizes como $(t^2 + 1)(t^2−5) = 0$, por lo que hay cuatro raíces $t = i, −i, \sqrt{5}, -\sqrt{5}$.

Imagina por un momento que no sabemos el explícito ceros $i, −i, \sqrt{5}, -\sqrt{5}$, pero que sabemos que el grupo de Galois G. De hecho, consideran que cualquier polinomio de cuarto grado $g(t)$ con el mismo grupo de Galois como ejemplo a $f(t)$ por encima de [isomorfo a $Z_2\times Z_2$]; de esa manera, nosotros no podemos conocer los ceros de forma explícita.

Deje que ellos se $\alpha,\beta,\gamma,\delta$. Considerar tres subcampos de $\mathbb{C}$ relacionado a $\alpha,\beta,\gamma,\delta$, es decir, $$ \mathbb{Q} \subseteq \mathbb{Q}(\gamma,\delta) \subseteq \mathbb{Q}(\alpha,\beta,\gamma,\delta)$$ Deje $H = \{I, R=(\alpha \beta)(\gamma)(\delta)\} \subseteq G$. Asumir que también conocemos los dos siguientes hechos:

(1) Los números fijos de H son precisamente aquéllas en las $\mathbb{Q}(\gamma,\delta)$.

(2) Los números que se fija por G son precisamente aquéllas en las $\mathbb{Q}$.

A continuación, podemos averiguar cómo resolver la ecuación de cuarto grado $g(t)=0$, como sigue. Los números de $\alpha+\beta$ $\alpha\beta$ son, obviamente, tanto fijos por $H$. Por el hecho de que (1) se encuentran en $\mathbb{Q}(\gamma,\delta)$. Pero ya $$(t-\alpha)(t-\beta)=t^2-(\alpha+\beta)t+\alpha\beta,$$ esto significa que $\alpha$ $\beta$ satisfacer una ecuación de segundo grado cuyos coeficientes son en $\mathbb{Q}(\gamma,\delta)$. Es decir, podemos usar la fórmula para resolver una ecuación cuadrática para expresar $\alpha,\beta$ en términos de funciones racionales de $\gamma,\delta$, junto con nada peor que las raíces cuadradas. Así obtenemos $\alpha$, $\beta$ como expresiones radicales en $\gamma,\delta$.

Pero podemos repetir el truco para encontrar $\gamma,\delta$. Los números de $\gamma+\delta$ $\gamma\delta$ son fijados por el conjunto de la $G$: están claramente fijados por $R$, y también por $S=(\alpha)(\beta)(\gamma\delta)$, y estos generan $G$. Por lo tanto, $\gamma+\delta$ $\gamma\delta$ pertenecen a $\mathbb{Q}$ por el hecho de (2) anteriormente. Por lo tanto, $\gamma$ $\delta$ satisfacer una ecuación cuadrática $\mathbb{Q}$, por lo que están dadas por expresiones radicales en los números racionales. Enchufar estos en las fórmulas para $\alpha$ $\gamma$ nos encontramos con que todos los cuatro ceros son expresiones radicales en los números racionales.

No hemos encontrado las fórmulas de forma explícita. Pero hemos demostrado que cierta información sobre el grupo de Galois necesariamente implica que existen. Dado más información, se puede terminar el trabajo completo.