Una ecuación funcional con desigualdad

Question

Encontrar todas las funciones (al menos una) $f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ (o demostrar que no existe), tal que $$ f(x^3+x)xf(x^3)+f(x), \quad \text{for all $ x\in \mathbb{R} $}. $$ Este es un problema que me ha planteado un amigo y no sé cómo proceder.

Hechos fáciles conocidos:

• $f(0)=0$ .
• Parece que el problema puede dividirse en $x>0$ y $x<0$ por separado. Sea $f_{-}(x)=-f(-x)$ para $x>0$ entonces $f_{-}(x^3+x)\ge x\ge f_{-}(x^3)+f_{-}(x)$ .

Answer 1

Pregunta: ¿Cuál es el valor de $f(-2)$ ?

Si dejamos que $x=-1$ vemos que $f(-2)\le -1$ .

A continuación $a$ satisfacer $a^3+a=-8$ y observe que $a\approx -1.8$ . Entonces $x=-2$ . Tenemos:

$$-2\le f(-8)+f(-2)=f(a^3+a)+f(-2)\le a+f(-2)$$

Estas desigualdades dan:

$$-2-a\le-1\\-a\le1\\a\ge-1$$

una contradicción. No existe tal función.

Answer 2

Creo que no existe tal función. Para ver esto, primero $h:\mathbb R\to\mathbb R$ se define por $h(x)=x^3+x$ . Se trata de una suma de dos funciones estrictamente crecientes y, por tanto, estrictamente crecientes. Como también es ilimitada en ambas direcciones y continua, es biyectiva, por lo que su inversa $h^{-1}:\mathbb R\to\mathbb R$ existe. (Y también es estrictamente creciente).

Por las desigualdades requeridas, esto significa que para cada $x\in\mathbb R$ tenemos $$f(x)=f(h(h^{-1}(x)))\leq h^{-1}(x).$$ Esto y las desigualdades implican además que $$x\leq f(x^3)+f(x)\leq h^{-1}(x^3)+h^{-1}(x)\tag{*}$$ debe valer para todos $x\in\mathbb R$ . Resulta que esto es imposible.

Para ver esto, sólo debemos encontrar un $x\in\mathbb R$ tal que $x>h^{-1}(x^3)+h^{-1}(x)$ de modo que $(*)$ falla. Tenga en cuenta que, dado que $h(-1)=(-1)^3+(-1)=-2$ se deduce que $h^{-1}(-2)=-1$ . Por lo tanto, $$h^{-1}((-2)^3)+h^{-1}(-2)<h^{-1}(-2)+h^{-1}(-2)=-2,$$ donc $(*)$ efectivamente falla. Por lo tanto, no $f$ existe.