Aditivo de rotación de matrices

Question

Supongamos que queremos encontrar una matriz de rotación que se añadió a una determinada matriz de rotación da también una matriz de rotación. Me gustaría nombre de la matriz de rotación aditivo de la matriz para una determinada matriz de rotación.

Primero considere un 2D caso para la matriz de identidad. Es relativamente fácil encontrar la matriz.
$ R= \begin{bmatrix} -\dfrac{1}{2} & -\dfrac {\sqrt{3}}{2} \\ \dfrac{\sqrt{3}}{2} & -\dfrac{1}{2} \\ \end{bmatrix} $

Realmente tenemos
$ \begin{bmatrix} -\dfrac{1}{2} & -\dfrac { \sqrt{3}}{2} \\ \dfrac{ \sqrt{3}}{2} & -\dfrac{1}{2} \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \dfrac{1}{2} & -\dfrac { \sqrt{3}}{2} \\ \dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{1}{2} \\ \end{bmatrix} $

También matriz simétrica a R es aditivo para la matriz identidad, por lo que tenemos, al menos, 2 tales matrices. Si es que existe para la matriz de identidad debe, creo, existe para otras matrices de rotación 2D.

Yo estaba buscando también para tales matrices en 3D. Sin embargo, sin efectos positivos.

Pregunta

Hacer tales matrices existen en 3D ?

• Si es así, cómo encontrarlos.
• Si no cómo demostrarlo.

Answer 1

No hay ningún tipo de 3D rotaciones.

Supongamos por el contrario que para ciertas rotaciones $R_1,R_2,R_3$ la ecuación $$ R_1\vec{x}+R_2\vec{x}=R_3\vec{x}\qquad(*) $$ tiene para todos los $\vec{x}\in\Bbb{R}^3$. Si esto funciona para el triple $(R_1,R_2,R_3)$ luego multiplicando $(*)$ desde la izquierda por $R_3^{-1}$ vemos que también funciona para el triple $(R_3^{-1}R_1,R_3^{-1}R_2,I_3)$. Así que sin pérdida de generalidad podemos suponer que $R_3$ es la asignación de identidad.

Pero $R_1$ tiene un eje (o, $\lambda=1$ es uno de sus autovalores), de modo que existe un no-vector cero $\vec{u}$ tal que $R_1\vec{u}=\vec{u}$. Conectar $\vec{x}=\vec{u}$ muestra que $R_2\vec{u}=\vec{0}$. Esto es imposible, porque como una rotación de $R_2$ es no singular.

Answer 2

Por lo que desea encontrar $\theta_1$, $\theta_2$, y $\theta_3$ tal forma que:

$$\displaystyle\left[\begin{matrix}\cos\theta_1&-\sin\theta_1\\\sin\theta_1&\cos\theta_1\end{matrix}\right] + \left[\begin{matrix}\cos\theta_2&-\sin\theta_2\\\sin\theta_2&\cos\theta_2\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}\cos\theta_3&-\sin\theta_3\\\sin\theta_3&\cos\theta_3\end{matrix}\right]$$

Significado, de forma equivalente:

$$\begin{cases}\sin\theta_1+\sin\theta_2=\sin\theta_3\\\cos\theta_1+\cos\theta_2=\cos\theta_3\end{cases}$$