Cómo encontrar a $\displaystyle \dfrac{d}{dt} \left [\int_t^\infty xf(x)~dx \right ] $ (al $f(x)$ es una función de densidad de probabilidad)

Question

¿Cómo puedo solucionar esto? Necesito intermedio de ecuaciones. Tal vez la respuesta es $-tf(x)$.

$\displaystyle \dfrac{d}{dt} \left [\int_t^\infty xf(x)~dx \right ] $

$f(x)$ es la función de densidad de probabilidad.

Es decir, $\lim\limits_{x \to \infty} f(x) = 0$ $\lim\limits_{x \to \infty} F(x) = 1$

fuente: http://www.actuaries.jp/lib/collection/books/H22/H22A.pdf p.40

tratando de intermedio siguientes ecuaciones

$\displaystyle \dfrac{d}{dt} \left [\int_t^\infty xf(x)~dx \right ] = \dfrac{d}{dt} \left [\left [xF(x) \right ]_t^\infty - \int_t^\infty F(x)~dx \right ]?? $

$\displaystyle \dfrac{d}{dt} \int_t^a f(x)~dx = -\dfrac{d}{dt} \int_a^t f(x)~dx = -\dfrac{d}{dt} (F(t)-F(a))=F'(t)=f(t)$

Answer 1

Por definición, la derivada (si existe) es el límite del cociente de la diferencia

$$\frac{1}{h}\left(\int_{t+h}^\infty x f(x) dx - \int_t^\infty x f(x) dx\right) = -\frac{1}{h}\int_t^{t+h} x f(x) dx$$

como $h\to 0$.

Asumiendo $f$ es continua en $t$, $x f$ también será continua y al $h$ es lo suficientemente pequeño será continua en el intervalo entre el$t$$t+h$. A continuación, el Valor medio Teorema afirma que hay algunos $h^{*}$ $0$ $h$ para los que

$$-(t+h^{*})f(t+h^{*}) = -\frac{1}{h}\int_t^{t+h} x f(x) dx.$$

Como $h\to 0$, necesariamente,$h^{*}\to 0$, y la continuidad de la $f$ cerca de $t$ implica entonces el lado izquierdo tiene un límite igual a $-t f(t)$.

(Es bueno ver que este análisis no requiere de razonamiento acerca de la existencia de la original inadecuada integral de la $\int_t^\infty x f(x) dx$.)

Sin embargo, aún cuando la distribución tiene una densidad de $f$, que la densidad no tiene que ser continuo. En los puntos de discontinuidad, la diferencia cociente tendrá diferentes a la izquierda y a la derecha de los límites: la derivada no existe.

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Esto no es una cuestión que puede ser destituido como algunos de los arcanos de matemáticas "patología" que los profesionales pueden ignorar. Los archivos Pdf de muchos de los más comunes y útiles de las distribuciones tienen puntos de discontinuidad. Por ejemplo, el Uniforme de$(a,b)$ tiene una distribución discontinua en PDF en $a$$b$; una Gamma$(a,b)$ tiene una distribución discontinua en PDF en $0$ al $a\le 1$ (que incluye el omnipresente distribución Exponencial y algunas de las $\chi^2$ distribuciones); y así sucesivamente. Por lo tanto, es importante no afirmar, sin cuidado de cualificaciones, que la respuesta es simplemente $-t f(t)$: eso sería un error.

Answer 2

Solucionado...

$\displaystyle \dfrac{d}{dt} \left [\int_t^\infty xf(x)~dx \right ]$ $= \displaystyle \dfrac{d}{dt} \left [G(\infty)-G(t) \right ]$ $= \displaystyle \dfrac{d}{dt} \left [G(\infty) \right ] - \dfrac{d}{dt} \left [G(t) \right ]$ $= \displaystyle 0-tf(t)$

Muchas gracias a todos!!!