Lista de funciones no integrables en términos elementales

Question

Cuando enseño integración a estudiantes de cálculo principiantes, siempre les digo que algunas integrales son "imposibles" (con un poco de explicación sobre lo que eso significa realmente). Sin embargo, debo admitir que los ejemplos que doy provienen en su mayoría del "folclore" o de conjeturas.

¿Puede alguien indicarme una lista (no una lista completa, por supuesto) de funciones elementales bastante simples cuyas antiderivadas no son elementales? Estoy pensando en cosas como $\exp(x^2)$ que es el ejemplo estándar, $\sin(\exp(-x))$ quizás, cosas como esta, no fórmulas enormemente complicadas.

Answer 1

Prueba este enlace. Un montón de funciones simples, por cierto :)

http://calculus-geometry.hubpages.com/hub/List-of-Functions-You-Cannot-Integrate-No-Antiderivatives

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Como se ha dicho en el comentario de abajo, el enlace no funciona ahora.

Sin embargo, nada puede ser borrado de Internet de forma permanente.

http://web.archive.org/web/20160612175604/http://hubpages.com:80/education/List-of-Functions-You-Cannot-Integrate-No-Antiderivatives

Answer 2

Teorema de Liouville de hecho caracteriza exactamente las funciones cuyas antiderivadas se pueden expresar en términos de funciones elementales.

Sin embargo, la única prueba que he visto no es precisamente adecuada para enseñar a los estudiantes de cálculo principiantes. De hecho, la prueba de la imposibilidad de resolver un polinomio general de 5º grado por radicales (de Galois) y la prueba del teorema de Liouville comparten una idea común. (El teorema de Liouville forma parte de la llamada teoría diferencial de Galois)

Si estás dispuesto a pasar por un poco de teoría diferencial de Galois para llegar a la prueba, puedes leer las notas de R.C.Churchill disponible aquí .

También puedes probar la presentación de Pete Goetz aquí que asume el teorema de Liouville y demuestra que la gaussiana no tiene una antiderivada elemental.

Nota: Demostrar que una determinada función no tiene una antiderivada elemental es a menudo bastante difícil, y se reduce al problema de demostrar que una determinada ecuación diferencial no tiene solución.

No he visto muchos ejemplos de tales funciones, y no conozco una referencia que lo demuestre para todas las funciones enumeradas en la respuesta anterior de sas.

Answer 3

Esta respuesta es un esfuerzo por recopilar todas las integrales no elementales conocidas en un post de la wiki de la comunidad para que se pueda complementar dinámicamente y para que también se puedan incluir enlaces a las pruebas. Incluiré algunas de las otras integrales mencionadas por las otras respuestas. Esto también sirve para proporcionar una copia de seguridad en caso de que las listas pertinentes se caigan.

Para simplificar, dejemos que $T(x)=\sin x,\cos x,\tan x$ sea una función trigonométrica cualquiera y, de la misma manera $T^{-1}(x)=\sin^{-1} x,\cos^{-1} x,\tan^{-1} x$ . La lista está ordenada de tal manera que todas las funciones que incluyen $\ln$ están en la sección $2$ o más, todas las funciones, incluyendo $e^x$ en la sección $3$ o más allá, y así sucesivamente.

Abreviaturas:

• SLT: Teorema de Liouville fuerte.

0. Casos generales

• Por integración por sustitución, si $f(x)$ tiene una antiderivada no elemental, entonces también $f(\lambda x)$ , donde $\lambda \in \mathbb{R},\lambda\ne0$ .

1. Funciones de tipo algebraico

• $p(x)^{1/n}$ para cualquier $n\in\mathbb{Z},n>2$ donde $p$ es un polinomio de grado mayor que $2$ , excepto cuando $p$ es una potencia de un polinomio o cuando el radical se puede simplificar. Esto incluye $\sqrt{p(x)}$ , donde $p$ es un polinomio sujeto a las restricciones pertinentes. (1)

• Algunas curvas de Lamé, $L(x) = (1 ± x^m)^{1/n}$ , donde $m$ y $n$ son números (¿de qué conjunto?) mayores que $1$ y no $m= n = 2$ . Esto incluye $(1 - x^3)^{1/3}$ , $(1 - x^4)^{1/2}$ , $(1 + x^2)^{1/4}$ y $(1 + x^4)^{1/2}$ . Ver también Wikipedia: Integral elíptica . ( 1 , 4 , 7 p. 6 )

• $(1 ± x^m)^{-1/n}$ donde $m$ y $n$ son números (¿en qué conjunto?) mayores que $1$ excepto en el caso de que $m = n = 2$ . (1)

• $x^p (a+bx^r)^q$ donde ninguno de los $\frac{p+1}{r},q$ , ni $\left(\frac{p+1}{r}+q\right)$ son enteros (prueba: teorema de Chebyshev). Esto incluye $\sqrt{1+x^3}$ y $\sqrt{1+x^{-4}}$ . ( 3 , 7 p. 10 )

• $\displaystyle \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$ . (7 p. 6)

2a. Funciones de tipo logarítmico

• $\displaystyle \frac{p(x)}{\ln x}$ , donde $p$ es un polinomio no nulo. Esto incluye $\displaystyle \frac{x}{\ln x}$ y $\displaystyle \frac{1}{\ln x}$ (prueba: SLT). Ver también Wikipedia: Integral logarítmica . ( 1 , 5 , 7 pp. 6, 10 )

• $\displaystyle \frac{\ln x}{p(x)}$ , donde $p$ es un polinomio no constante y no un monomio como $x^n$ . Esto incluye $\displaystyle \frac{\ln x}{x\pm 1}$ . (1)

• $\ln \left(p(x)+q(x)\right)$ , donde $p,q$ son polinomios no constantes y no potencias de la misma función lineal, por ejemplo $p(x) = (2x-5)^3$ y $q(x) = (2x-5)^7$ . (1)

• $\displaystyle \frac{\ln p(x)}{\ln q(x)}$ , donde $p,q$ son polinomios no constantes y no potencias del mismo polinomio, por ejemplo $p(x) = (x^2 + 3)^2$ y $q(x) = (x^2 + 3)^9$ . (1)

• $\displaystyle \frac{1}{\ln x + x}$ . (1)

• $\ln \ln x$ . ( 1 , 7 p. 6 )

• $\sqrt{1 ± \ln(x)}$ y $\sqrt{x ± \ln(x)}$ . (1)

• $\displaystyle \frac{1}{\ln^2x-x^2}$ . (7 p. 6)

2b. Funciones de tipo exponencial

• $\displaystyle e^{\pm x^n}$ para todos $n\in\mathbb{Z},n\ne 0,1$ . Esto incluye $\displaystyle e^{\pm x^2}$ (prueba: SLT, boceto de prueba: (8) ) y $\displaystyle e^{\pm x^3}$ . Ver también Wikipedia: Función de error . ( 1 , 3 , 7 pp. 3, 10 )

• $e^{x^{\alpha}}$ para $\alpha\ge 2$ . Esto incluye $\displaystyle e^{\pm x^2}$ . ( 2 , 6 )

• $\displaystyle e^{\pm e^{x}}$ . (1)

• $\displaystyle \frac{e^{x}}{p(x)}$ donde $p$ es "un polinomio" (presumiblemente no nulo o de grado $1$ o superior). Esto incluye $\displaystyle \frac{e^{x}}{x}$ (prueba: SLT, boceto de prueba: (8) ) y $\displaystyle \frac{e^{x}}{x^2}$ . ( 1 , 3 , 7 pp.3, 10 )

• $x^\alpha e^x$ , donde $\alpha\notin\mathbb{Z}^+_0$ . Esto incluye $\sqrt{x}e^x$ . (1)

• $\displaystyle \frac{p(x)+e^x}{q(x)+e^x}$ , donde $p,q$ "son polinomios" (presumiblemente no nulos pero ¿de qué grado?) y donde $p$ no es la derivada de $q$ . Esto incluye $\displaystyle \frac{x}{1+e^x}$ y $\displaystyle \frac{1}{x+e^x}$ . (1)

• $\displaystyle e^{p(x)/q(x)}$ , donde $p,q$ son polinomios no nulos (¿de cierto grado?) tales que $q$ no divide $p$ ?). (1)

• $\sqrt{x ± e^x}$ . (1)

3a. Funciones de tipo exponencial/logaritmo

• $\displaystyle e^x\ln x$ y $xe^x\ln x$ . (1)

• $\displaystyle \frac{e^x}{\ln x}$ y $\displaystyle \frac{\ln x}{e^x}$ . (1)

• $\displaystyle e^{\sqrt{\ln x}}$ . (1)

• $x^x=e^{x\ln x}$ . Esbozo de prueba: (8) . (3)

• $\ln(p(x) ± e^x)$ , donde $p(x)$ es un polinomio no nulo. Esto incluye $\ln(1 ± e^x)$ donde tenemos $\deg(p)=0$ . (1)

• $xe^{x^3/3}$ . (7 p. 6)

3b. Funciones de tipo trigonométrico

• $T(x^\alpha)$ , donde $\alpha$ es una constante pero $\alpha\ne 0$ y $\frac{1}{\alpha}$ no es un número entero. Esto incluye $\sin (x^2)$ y $\cos(x^2)$ . Ver también Wikipedia: Integral de Fresnel . Las excepciones a esta regla que tienen integrales elementales incluyen $\sin(\sqrt{x})$ , como $\frac1\alpha=2$ . ( 1 , 7 p. 6 )

• $x^\alpha T(x)$ , donde $\alpha \ne 0$ , excepto cuando $T(x)=\sin x,\cos x$ y $\alpha \in\mathbb{Z}^+_0$ . Esto incluye $\sqrt{x}\sin x$ , $\sqrt{x}\cos x$ , $x \tan x$ y $\displaystyle \frac{T(x)}{x}$ como por ejemplo $\displaystyle \frac{\sin x}{x}$ . Ver también Wikipedia: Integral del seno y Integral del coseno . Prueba: SLT, esquema de la prueba: (8) . ( 1 , 3 , 5 , 7 p.3 )

• $\displaystyle \frac{x}{T(x)}$ . (1)

• $\displaystyle \frac{1}{T(x) + x}$ . (1)

• $\ln T(x)$ , $e^{T(x)}$ y $T(e^x)$ . (1)

• $T_1(T_2(x))$ , donde $T_1(x), T_2(x)=\sin x, \cos x,\tan x$ . Esto incluye $\sin(\sin x)$ , $\cos(\tan x)$ etc (1)

Dejemos que $S(x)=\sin x, \cos x$ es decir, $S(x)$ es una función trigonométrica que está explícitamente no $\tan x$ .

• $\sqrt{S(x)}$ (prueba: teorema de Chebyshev). De hecho $\sqrt{\tan x}$ tiene una integral elemental. ( 1 , 7 p. 11 )

• $\sqrt{S(x)+\lambda}$ , donde $\lambda\ne 1$ es una constante. (1)

• $\sqrt{1+x^2}S(x)$ . (7 p. 6)

Casos individuales.

• $\displaystyle \frac{\sqrt{\sin x}}{x}$ . (3)

• $\cosh(x^{\alpha})$ , donde $\alpha\ge 2$ . (6)

• $\tan{\sqrt x}$ . (1)

• $x^2 \cos( x^2)$ . (7 p. 6)

• $\sqrt{2-\sin^2x}$ . (7 p. 6)

• $\sqrt{1-k^2\sin^2x}$ . (7 p. 6)

3c. Funciones de tipo trigonométrico inverso

• $\displaystyle \frac1{T^{-1}(x)}$ . Esbozo de prueba: (8) . (1)

• $\displaystyle \frac{T^{-1}(x)}{x}$ y $\displaystyle \frac{x}{T^{-1}(x)}$ . (1)

• $T^{-1}(e^x)$ y $T^{-1}(\ln x)$ . (1)

• $\displaystyle e^{\sin^{-1}\ln x}$ y $\displaystyle e^{\cos^{-1}\ln x}$ . (1)

• $\displaystyle e^{\tan^{-1} x}$ . (1)

• $T^{-1}(x^2)$ , donde $T^{-1}\ne \tan^{-1} x$ . (1)

Referencias y abreviaturas

1. Hubpages - Lista de funciones sin antiderivadas.

2. UCR - Funciones con integrales indefinidas no elementales.

3. Sosmath

4. Mathworld

5. Nijimbere - Evaluación de algunas integrales no elementales que implican el seno, el coseno, la exponencial y la integrales logarítmicas: Parte I.

6. Nijimbere - Evaluación de la integral no elemental $\int e^{x^} dx$ , $2$ y otras integrales relacionadas.

7. Dharmendra Kumar Yadav - Un estudio sobre las funciones no elementales

8. Pregunta 265780 del MSE.

Answer 4

La referencia siguiente trata como ejemplo seis clases diferentes de integrales simples no elementales.

Yadav, D. K.: A Study of Indefinite Nonintegrable Functions. Tesis de doctorado, Universidad Vinoba Bhave, India, 2012.

Yadav, D. K.: Seis conjeturas en el cálculo integral. 2016

Yadav, D. K.: Six Conjectures on Indefinite Nonintegrable Functions or Nonelementary Functions. 2016