Una descripción coalgebraica del hiperfinito II_1 revisitada

Question

Volver aquí Pedía una caracterización coalgebraica del hiperfinito $II_1$ factor. Recordemos la construcción de este último formando el límite inductivo de una cadena de álgebras matriciales $R \to M_2(R) \to M_{2^2}(R) \to ...$ , donde una matriz es enviada a dos copias de sí misma colocadas en los bloques diagonales, cero en el resto. Entonces la terminación en la topología débil da el factor hiperfinito.

La traza se reduce a la mitad en cada paso de la cadena. Las trazas de las proyecciones en el límite inductivo son racionales diádicos en [0, 1], mientras que en el factor hiperfinito son todo el intervalo real [0, 1]. Ahora, los racionales diádicos son el álgebra inicial para el endofunctor en el conjunto bipunto, $X \mapsto X \vee X$ identificando el segundo punto de la primera copia con el primer punto de la segunda copia. El intervalo [0, 1] es la coalgebra terminal para el mismo functor y el Dedekind y Cauchy finalización del álgebra inicial. Quizás resultados como el de Adamek Las álgebras de carbón finales son complementos ideales de las álgebras iniciales puede ampliarse aquí.

Esto me puso en la búsqueda de la caracterización coalgebraica del factor hiperfinito. Así que ahora la pregunta es: ¿qué hechos relevantes se conocen sobre el endofunctor en álgebras sobre los reales? $X \to M_2(X)$ ? Creo que el factor hiperfinito es un punto fijo. Es de suponer que hay que ser claro sobre el isomorfismo frente a la equivalencia de Morita. ¿Podría ser que el factor hiperfinito sea el mayor punto fijo hasta el isomorfismo? Quizá debería buscar en la categoría de cierto tipo de álgebra.

Answer 1

Esta es una pregunta interesante, pero la motivación es un poco desalineado. $C^*$ álgebras no conmutativas o quantum generalización de compacto de Hausdorff espacios y álgebras de von Neumann es un no-conmutativa o quantum generalización de (no demasiado irrazonable) espacios medibles. Sin embargo, ambas son generalizaciones contravariante. Su motivación es una covariante comparación entre álgebras de von Neumann y espacios topológicos, lo que es problemático.

El álgebra de von Neumann o $C^*$-álgebra $M_2(\mathbb{C})$ ahora es famosamente conocido como "qubit"; es un gran no-conmutativa analógica de $\mathbb{C} \oplus \mathbb{C}$, que es, por supuesto, el complejo funcional algebra de un clásico de bits. El endofunctor de preguntar acerca de es un geométrica del producto de $X$ y un qubit, y los morfismos en su pregunta es una proyección geométrica de vuelta a $X$ con un qubit de fibra. Para la realización de preguntar acerca de es, pues, un geométricas de producto con un enorme conjunto de Cantor. Se me olvida lo de la fibra que se llama en el $C^*$-álgebra, pero recuerdo que, a diferencia de un clásico conjunto de Cantor, su isomorfismo tipo depende de las dimensiones de las matrices. En la de von Neumann caso, este gigantesco conjunto de Cantor es interpretado como un espacio medible, y entonces es siempre el hyperfinite $II_1$ factor y no depende de la matriz de tamaños.

Creo que el hyperfinite factor no es el único punto fijo de tensoring con un qubit. Deje $S$ ser cualquier conjunto, vamos a $F$ el conjunto de funciones de $S$ a un poco (o cualquier conjunto finito) y, a continuación, deje $M$ ser la de von Neumann cierre de los operadores locales en $\ell^2(F)$. Aquí un operador local es uno que afecta a sólo un número finito de valores de $f \in F$. Si $S$ es un conjunto infinito de cualquier cardinalidad, a continuación, $M$ se dirige a sí mismo cuando tensor con un qubit.