Un problema relacionado con el submarino rompecabezas

Question

Submarino de rompecabezas:

Un submarino se encuentra en un entero en algún lugar a lo largo de la recta numérica. Se está moviendo en algún integral de la velocidad (un número entero de unidades de por segundo). Cada segundo te puede caer una bomba que destruirá la submarino si el submarino está en esa ubicación.

Puede ser garantizado de destruir el submarino? Si es así, ¿qué estrategia usarías?

(a partir de http://math-fail.com/2011/01/submarine-puzzle.html)

Y la respuesta es la enumeración de todos los $(a,b)$ pares, donde $a, b$ son enteros y la ubicación de los submarinos en tiempo de $t$ es igual a $at+b$.

Mi pregunta es, si ahora $a, b$ puede ser de cualquiera de los números reales, y la bomba ahora puede destruir el submarino en una región de longitud 1,
es decir, si en el momento $t$ la bomba se cae en$x_t$$x_t - 0.5 \le at+b \le x_t+0.5$,
el submarino será destruido.

Entonces podemos ser garantizada para destruir el submarino?

Algunas ideas:

Al $b$ es dado, la misión se puede hacer mediante la enumeración de $a$ en todo número racional (ya que los números racionales es denso).

Al $a$ está restringido a un número entero, la misión puede ser hecho por el mismo método que el anterior.

Para el caso general, creo que no es posible destruir el submarino, pero no puedo demostrarlo.

Answer 1

Sí, el submarino puede ser destruido. Por simplicidad, suponga que la primera bomba es $n=0$, y con el $n$-ésimo de la bomba limpie una raya en el $a,b$ plano de anchura horizontal 1 y la pendiente $-1/n$. Dividir el plano en la unidad de plazas, y enumerar las plazas, de modo que el plano está cubierto por countably muchos de ellos. Si, a partir de arbitrario bomba de $n$, podemos cubrir una plaza de la unidad en un número finito de bombas, somos capaces de cubrir todo el avión en countably muchas bombas y están garantizados para destruir él submarino.

Elegir la posición de la bomba de $n$, de modo que la franja que cubre el borde inferior de la plaza, lo que significa que cubre la parte inferior $1/n$ de la orilla izquierda. Recoger la siguiente bomba de forma que cubra la parte inferior $1/(n+1)$ de la orilla derecha. Que bandas tiene una menor pendiente que el anterior: se superponen. La próxima bomba cubre la próxima $1/(n+2)$ de la orilla derecha, el siguiente $1/(n+3)$ del borde derecho, etc. Se requerirá de un número finito de bombas para cubrir completamente la unidad de la plaza.

Como esto es cierto para cualquier unidad de la plaza, a partir de cualquier $n$, podemos cubrir completamente la $a,b$ plano, por lo tanto destruir el submarino no importa donde comenzó o su velocidad.

Disculpas por la brevedad, voy a ampliar mi explicación de algún lugar que no sea mi teléfono.

Answer 2

Vamos a examinar lo que está sucediendo en el plano cuyos puntos son $(a,b)$

En el momento $t$ eliminamos los puntos de consideración si tenemos $x_t-0.5-at \leq b \leq x_t+0.5-at$

Para un determinado $a$ puedo elegir mi ejes de modo que esta es una línea horizontal de longitud $1$. En el $(a,b)$-plano como $a$ varía de obtener una raya diagonal de ancho horizontal $1$ y la pendiente $-t$. La pregunta se convierte en si dada una raya para cada entero $t$ uno puede cubrir todo el plano. Las rayas tienen diferentes pendientes.

Ahora la mayoría de las bandas son casi horizontales sí mismos. Por lo que a mi me parece como si usted puede partición de la $(a,b)$ avión por ejemplo, en cuadrados de lado $0.5$ (que probablemente podría ser más eficiente) - hay una contables número de estos, y que ellos para sacar uno con cada franja - que hacer al elegir el valor adecuado para $x_t$ para las bandas en cuestión.

En esta manera de cubrir la totalidad de la $(a,b)$-plano - y por lo tanto destruir el submarino donde comenzó y, sin embargo, rápido se va.

NOTA - esto no funciona - véase el comentario a continuación. Tal vez puede ser modificado, pero el comentario también se identifica una dificultad que pueda requieren un poco de cuidado.