Para cualquier $A$-módulo de $M$ deje $S(M)$ ser su apoyo y $\mathfrak a(M)$ su annihilator. Deje $LN$ el conjunto de los $a$ $A$ tal que $a_M$ a nivel local es nilpotent. Queremos demostrar
$$
LN=\bigcap_{\mathfrak p\in S(M)}\ \mathfrak p.\qquad\qquad(1)
$$
El principal lema será:
$(2)$ Si $M$ es finitely generado, entonces,$S(M)=V(\mathfrak a)$,$\mathfrak a:=\mathfrak a(M)$.
Recordar: $V(\mathfrak a):=\{\mathfrak p\in\text{Spec}(A)\ |\ \mathfrak p\supset\mathfrak a\}$.
La prueba de $(2)$. Suponga $\mathfrak p\supset\mathfrak a$. Debemos mostrar $M_{\mathfrak p}\neq0$. Supongamos por contradicción $M_{\mathfrak p}=0$. Deje $x_1,\dots,x_n$ ser generadores de $M$. Para cada una de las $i=1,\dots,n$ hay un $s_i$$A$, pero no en $\mathfrak p$ tal que $s_ix_i=0$. A continuación,$s_1\cdots s_n$$\mathfrak a$, pero no en $\mathfrak p$, contradicción.
Por el contrario, asumen $M_{\mathfrak p}\neq0$. A continuación, hay un $x$ $M$ tal que $sx\neq0$ todos los $s$ $A$ que no están en $\mathfrak p$. Deje $\alpha\in\mathfrak a$. Como $\alpha x=0$, el elemento $\alpha$$\mathfrak p$.
La prueba de $(1)$. Deje $(M_i)$ ser una familia de finitely generado submódulos de $M$ cuya suma es $M$. Poner $\mathfrak a_i:=\mathfrak a(M_i)$.
Por definición tenemos
$$
LN=\bigcap_i\ r(\mathfrak a_i).
$$
Recordar la igualdad
$$
r(\mathfrak a_i)=\bigcap_{\mathfrak p\V(\mathfrak a_i)}\ \mathfrak p.
$$
donde $r(\mathfrak a_i)$ es el radical de $\mathfrak a_i$. Por $(2)$, tenemos
$$
\bigcap_{\mathfrak p\V(\mathfrak a_i)}\ \mathfrak p=\bigcap_{\mathfrak p\in S(M_i)}\ \mathfrak p.
$$
Por razones formales tenemos
$$
\bigcap_i\ \bigcap_{\mathfrak p\in S(M_i)}\ \mathfrak p=\bigcap_{\mathfrak p\en\bigcup S(M_i)}\ \mathfrak p.
$$
Ahora $(1)$ se deduce del hecho de que $S(M)$ es la unión de las $S(M_i)$.
