Por qué no hay ninguna solución en los enteros positivos para $z^3 = 3(x^3 +y^3+2xyz)$?

Question

Considere la siguiente ecuación de Diophantine

$$z^3 = 3(x^3 +y^3+2xyz)$$

¿Hay algún primaria de la prueba, para los que no la solubilidad en los enteros positivos para esta ecuación Diophantine, donde $x, y$ $z$ son parejas coprime enteros positivos?

Me han demostrado la imposibilidad de la solución de esta ecuación Diophantine en los enteros positivos, sino que tomó un par de páginas, y creo que esta demasiado largo. Espero que de una forma mucho más elemental y más corto de la prueba de este rompecabezas.

Sugerencia: debe señalarse que también es cierto para la no disponibilidad de forma similar (en sustitución de coeficiente de 3 por 1) como la siguiente:

$$z^3=x^3+y^3+2xyz,$$ but this case is very simple to prove, where $x, y\;\&\; z$ son cero enteros.

Answer 1

El problema lleva a la búsqueda de puntos racionales de la curva de $3U^3+3V^3+6UV-1 = 0$, que es birationally equivalente a la curva elíptica $Y^2+Y = X^3-270X-1708$ con trivial de torsión y el rango de cero, por lo que no tiene puntos racionales.

Véase también el Teorema 1 en Nathan, José Amal(6-BARC-REP) Revisando último teorema de Fermat para el exponente 3. (Resumen en inglés) de la India J. Math. 51 (2009), no. 2, 379-390. arxiv