Cómo demostrar que esta integral es igual a $\frac\pi2$ ?

Question

Mientras resolvía un problema físico del libro "Mecánica" de Landau, Lifshitz, me encontré con una integral:

$$\int_0^\delta \frac{du}{\sqrt{\left(\frac{\cosh\delta}{\cosh u}\right)^2-1}}.$$

En el libro sólo se da la respuesta final del problema, de la que deduzco que esta integral debe ser $\frac\pi2$ .

He intentado pasarlo a Wolfram Mathematica, pero no ha sido capaz de evaluarlo, devolviendo un resultado no evaluado. Al evaluarlo numéricamente se confirma que es una respuesta probable, pero no he podido probarlo.

He intentado hacer una sustitución $v=\frac{\cosh\delta}{\cosh u}$ y en su lugar obtuve esta integral:

$$\gamma \int_1^\gamma \frac{dv}{v\sqrt{(\gamma^2-v^2)(v^2-1)}},$$

donde $\gamma=\cosh\delta$ pero esto no me da una pista de cómo proceder. Además, no consigo eliminar el parámetro ( $\delta$ o $\gamma$ ), lo que no debería afectar en absoluto al resultado.

Entonces, la pregunta es: ¿cómo se puede evaluar esta integral o al menos demostrar que es igual $\frac\pi2$ ?

Answer 1

En realidad es mucho más sencillo que esto. Reescribe la integral como

$$\int_0^{\delta} du \frac{\cosh{u}}{\sqrt{\cosh^2{\delta}-\cosh^2{u}}} = \int_0^{\delta} du \frac{\cosh{u}}{\sqrt{\sinh^2{\delta}-\sinh^2{u}}}$$

Sub $y=\sinh{u}$ y la integral se convierte en

$$\int_0^{\sinh{\delta}} \frac{dy}{\sqrt{\sinh^2{\delta}-y^2}}$$

Ahora sub $y=\sinh{\delta}\, \sin{t}$ y la integral es

$$\int_0^{\pi/2} dt = \frac{\pi}{2}$$

Answer 2

Continuando con su sustitución:

$$\begin{aligned}\mathcal{I} &= \int_1^{\gamma} \frac{\gamma\,dv}{v\sqrt{(\gamma^2-v^2)(v^2-1)}}\\&=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\gamma\,\sec^2 t dt}{1 +\gamma^2\tan^2 t}\quad (v^2=\cos^2 t+\gamma^2\sin^2 t)\\&=\int_0^{\infty}\frac{dw}{1 +w^2}\quad (w=\gamma\tan t)\\&=\frac{\pi}{2}\end{aligned}$$