Ejemplos de cierres algebraicos de índice finito

Question

Así que hay ejemplos fáciles para cierres algebraicos que tienen índice dos e índice infinito: $\mathbb{C}$ en $\mathbb{R}$ y los números algebraicos sobre $\mathbb{Q}$ . ¿Y los demás índices?

EDIT: Por supuesto $\overline{\mathbb{Q}} \neq \mathbb{C}$ . No sé en qué estaba pensando.

Answer 1

Teorema (Artin-Schreier, 1927): sea K una algebraicamente cerrado de campo y F una adecuada subcampo de K con $[K:F] < \infty$. Entonces F es real cerrado y $K = F(\sqrt{-1})$.

Ver, por ejemplo, Jacobson, Álgebra Básica II, Teorema 11.14.

Answer 2

El Artin-Schreier teorema dice que cada algebraicas cierre de finito índice índice 2, y es la clausura algebraica de un campo cerrado.

Página 299 de Álgebra por Serge Lang. Búsqueda de Libros de Google Enlace a la página.