No lineal de 1er orden ODE que implican una función racional

Question

$$y'=\frac{-6x+y-3}{2x-y-1}$$ Hay un método infalible para abordar las ecuaciones de la forma $y'=\dfrac{ax+by+c}{dx+ey+f}$ ?

Yo he probado un par de sustituciones (como $y=vx$$v=2x-y-1$, ninguno de los cuales parece funcionar), y también he intentado el tratamiento de la ecuación, como sería de una ecuación exacta, pero el factor de integración es unidimensional.

Answer 1

No es seguro!

Primero vamos a hacer frente a una ecuación de la forma $$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{Ax+By}{Cx+Dy}\tag{1} \quad .$$

Dividir la parte superior y bottomh por $x$, en el lado derecho, para dar a $$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{A+B\left(\frac{y}{x}\right)}{C+D\left(\frac{y}{x} \right)} \quad.$$

Ahora vamos a $v=\frac{y}{x} \iff y=vx \implies \underbrace{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=v+x\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}}_{\text{product rule}} \quad .$

Entonces tenemos $$v+x\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}=\frac{A+Bv}{C+Dv}$$ which is separable (I'll leave this as an exercise for you-- subtract $v$ de ambos lados, y poner todo en RHS más de un denominador común).

Ahora, ¿qué sucede si tenemos una ecuación de la forma $$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{ax+by+c}{dx+ey+f} \quad?$$

Vamos $$X=x-x_0, \quad Y=y-y_0 \iff x=X+x_0, \quad y=Y+y_0 \quad $$ for some suitable constants $x_0, y_0$ (que son a determinar).

Luego tenemos a $$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}X}=\frac{a(X+x_0)+b(Y+y_0)+c}{d(X+x_0)+e(Y+y_0)+f}=\frac{aX+bY+(\color{red}{ax_0+by_0+c})}{cX+dY+(\color{green}{dx_0+ey_0+f})}.$$

Ahora elija $x_0, y_0$, de modo que los términos constantes se desvanecen.

es decir,$$\begin{cases}\color{red}{ax_0+by_0+c=0} \\ \color{green}{dx_0+ey_0+f=0}\end{cases} \tag{2}$$ which we can solve (under certain conditions) to give $ x_0$ and $y_0$.

Entonces tenemos $$\frac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}X}=\frac{aX+bY}{dX+eY}$$ which is of the form $(1).$