Probar o refutar que $$7^{8}+8^{9}+9^{7}+1$$ es un número primo, sin necesidad de utilizar un ordenador.
Traté de transformar $n^{n+1}+(n+1)^{n+2}+(n+2)^{n}+1$, sin éxito, a ninguna conclusión útil.
Respuestas
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El juicio de la división de mod $47$, como por la sugerencia.
En primer lugar, por entero positivo $a$, se observa que la $$a \equiv \overbrace{a \mod 50}^{\text{reduced residue}}+3\lfloor a/50\rfloor \pmod {47}.$$ This makes taking mod $47$s mucho más fácil.
Calculamos el $7^2=49 \equiv 2 \pmod {47}$. Por lo $7^8 \equiv 2^4 = 16 \pmod {47}$.
Calculamos el $8^2=64 \equiv 14+3 = 17 \pmod {47}$. Por Lo $8^4 \equiv 17^2 = 289 \equiv 39+3 \times 5=54 \equiv 4+3=7 \pmod {47}.$$8^8 \equiv 7^2 = 49 \equiv 2 \pmod 7 \pmod {47}.$$8^9 \equiv 2 \times 8 = 16 \pmod {47}$.
Sucede que tengo memorizado que $9^3=729$ (he utilizado para mi alarma a las 7:29 porque es igual a $3^6$). Por lo $9^3 \equiv 729 = 29+3 \times 14=71 \equiv 21+3=24 \pmod {47}$. Por lo $9^6 \equiv 24^2=576 \equiv 26+3 \times 11=59 \equiv 9+3=12 \pmod {47}$. Por lo $9^7=12 \times 9=108=8+3 \times 2=14 \pmod {47}$.
Finalmente,$16+16+14+1=47 \equiv 0 \pmod {47}$.
David HAust
Puntos
2696
Que $\,47\,$ es un factor que puede ser verificado por muy fácil aritmética mental:
$\begin{eqnarray} {\rm mod}\ 47\!:\quad && 1+ \color{#c00}{7^8} +\, 8^9 +\ \color{#0a0}{9^7}\\ \equiv && 1+ \color{#c00}{2^4} + 2^{27} + \color{#0a0}{7\cdot 7^6\cdot 8^7}\quad {\rm by}\ \ \color{#0a0}{9\equiv 7\cdot 8},\ \ \color{#c00}{7^2\equiv 2}\\ \equiv&& 1+ 2^4 + 2^{27} + 7\cdot \color{#c00}{2^3}\cdot 2^{21}\\ \equiv&& 1+ 2^4 + 2^{4} +\ 7\cdot 2\,\equiv\, 0\quad {\rm by}\ \ \color{#c00}2^{23}\equiv (\color{#c00}{7^2})^{23}\equiv 7^{46}\equiv 1,\ \ \rm by\ little \ Fermat\\ \end{eqnarray}$
