Prueba De Verificación Sobre La Secuencia De Los Límites De

Question

Tuve que trabajar de la mano en la que se incluyó la siguiente pregunta

Deje $(a_n), (b_n)$ satisfacer $\lim_{n\rightarrow\infty} a_nb_n=1$.

La prueba de que si para todos $n$, $0\leq a_n,b_n \leq 1$ entonces $\lim_{n\rightarrow\infty} a_n=\lim_{n\rightarrow\infty}b_n=1$.

Mi solución que le di fue bastante straightfoward - mostrar fácilmente que $a_nb_n\leq a_n\leq 1$ e la misma para $b_n$. Luego he utilizado el teorema del encaje a mostrar sus límites se $1$.

Sin embargo, las personas (también a los profesores que ayudaron a algunos de los estudiantes), empezamos a hablar acerca de los límites parciales y de Bolzano–Weierstrass que realmente hace que mi dbout mi de la solución de la validness, lo que busco aquí de usted en el momento.

Gracias de antemano.

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Answer 1

Su argumento está muy bien y es la más sencilla que se me ocurre.

Un argumento utilizando los teoremas de Bolzano-Weierstrass teorema también es posible, aunque se tarda un poco más de trabajo. Supongamos que $\langle a_n:n\in\Bbb N\rangle$ no converge a $1$. A continuación, hay un $\epsilon>0$ tal que $M=\{n\in\Bbb N:a_n\le 1-\epsilon\}$ es infinito. El subsequence $\langle a_n:n\in M\rangle$ es limitada, así que por la de Bolzano-Weierstrass teorema tiene una convergente larga: hay un infinito $M_0\subseteq M$ tal que $\langle a_n:n\in M_0\rangle$ converge, decir a $\ell$; claramente $\ell\le 1-\epsilon$, ya que el $a_n\le 1-\epsilon$ por cada $n\in M_0$. Pero $\langle a_nb_n:n\in M_0\rangle$ converge a $1$, lo $\langle b_n:n\in M_0\rangle$ converge a $\frac{1}{\ell}>1$, lo cual es imposible, ya que $b_n\le 1$ por cada $n\in\Bbb N$. Esta contradicción muestra que $\lim_na_n=1$, y se sigue inmediatamente que $\lim_nb_n=1$.