Valor absoluto de un número real vs. complejo

Question

Me encontré con un problema que me pedía encontrar la magnitud de un número complejo:

$$|4 + 3i|$$

Después de leer en línea y en el libro de texto, me di cuenta de que la pregunta podría resolverse encontrando la distancia del número complejo desde el origen en un plano complejo. Así:

Entiendo esto hasta ahora. Sin embargo, mi problema es que cuando resuelvo, usando el teorema de Pitágoras:

$\begin{align}\sqrt{4^{2} + (3i)^{2}} &= \sqrt{16 + 9i^{2}} \\ &= \sqrt{16 - 9} \\ &= \sqrt{7} \end{align}$

Termino obteniendo la solución incorrecta (la solución correcta es 5). Ahora, cuando introduzco $|4 + 3i|$ en mi TI-84, obtengo 5 como resultado. Investigué un poco sobre las magnitudes de los valores absolutos y vi que se pueden encontrar tomando la raíz cuadrada del producto del par conjugado complejo. Al resolverlo de esta manera, también obtuve 5 como solución. Estoy confundido sobre por qué el valor absoluto de un número complejo se trata de manera tan diferente a la de un número real. ¿Por qué es esto y cuál es la forma correcta de resolver la magnitud de un número complejo?

Editar:

Gracias por todas las respuestas. Sigo teniendo problemas para entender cómo se puede ignorar el $i$ al mirar la distancia de $0$ a $3i$. Intenté dibujar un diagrama para comprender esto mejor:

Estoy bastante confundido sobre por qué la distancia entre $0$ y $3$ es $3$, pero la distancia entre $0$ y $3i$ también es $3$. ¿No implicaría esto que $|3|$ y $|3i|$ son iguales? Si es así, ¿cómo es posible eso?

Answer 1

La definición (o una posible definición) del valor absoluto del número complejo $a+bi$ (donde $a$ y $b$ son reales) es $\sqrt{a^2+b^2}$. Entonces te preguntas, ¿por qué no es $\sqrt{a^2+(bi)^2}$ en su lugar? La respuesta es que simplemente así decidimos definirlo. Podrías definir una cantidad diferente que sea $\sqrt{a^2+(bi)^2}$, pero tendrías que darle un nombre diferente porque todo el mundo ya acordó que "valor absoluto" significa tomar $\sqrt{a^2+b^2}$ en su lugar.

Ahora, una pregunta más interesante es por qué todos los demás decidieron esa definición. Una razón es que puedes representar números complejos como puntos en el plano al hacer corresponder $a+bi$ al punto $(a,b)$, y luego $|a+bi|$ es la distancia desde este punto hasta el origen. Ten en cuenta que al hacer esto, $(a,b)$ es simplemente un punto en el plano euclidiano ordinario: es un punto que está a $a$ unidades a la derecha del origen y $b$ unidades arriba del origen. No tiene sentido decir que la distancia vertical es $bi$, ya que en geometría cuando medimos distancias, estas son siempre números reales positivos. La distancia vertical es $b$ porque te has movido $b$ unidades verticales en el plano. (En realidad, esto solo es preciso si $b$ es positivo: si $b$ es negativo, te has movido $-b$ unidades hacia abajo, por lo que la distancia es $-b$ en lugar de $b. Pero al elevar al cuadrado esta cantidad cuando usas el teorema de Pitágoras, no importa si es negativa)

En última instancia, esta explicación no es muy satisfactoria, porque no explica por qué elegimos representar números complejos en el plano de esta manera. Por ejemplo, ¿por qué no elegimos representarlos de tal manera que el número complejo $i$ se corresponda con una distancia vertical diferente de $1$, o una distancia en alguna dirección que no sea vertical? Una respuesta es que elegir que $i$ signifique "ir una unidad hacia arriba" resulta en que la distancia tenga propiedades algebraicas agradables que nos gustaría que los valores absolutos tengan. Por ejemplo, para números reales, es cierto que $|xy|=|x||y|$. Definiendo los valores absolutos de números complejos por $|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}$, resulta que esto también es cierto para números complejos. Como ejemplo simple, si queremos que $|xy|=|x||y|$ sea cierto para números complejos, entonces deberíamos tener $|i|^2=|i^2|=|{-1}|=1$. Por lo que deberíamos definir $|i|=1$ en lugar de $-1, ya que los valores absolutos se supone que son positivos.

Answer 2

Bueno, ¡oh cielos, casi lo has hecho bien! En realidad se da como

$$|4+3i|=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5$$

En general,

$$|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}$$

Esto es porque el valor absoluto solo considera $a$ y $b$ como la longitud de cada lado del triángulo. La longitud no puede, por definición, ser un número complejo.

Esto es como considerar el valor absoluto de un número negativo:

$$|-1|=1$$

El valor absoluto no se preocupa en qué lado de $0 estás, solo cuán lejos. Entonces lo mismo se aplica a los números complejos, y terminamos teniendo

$$|3i|=3$$

Ahora, $|3i|=|3|$ no significa que $3i=3$, por la razón de que simplemente está en un lado diferente de $0$. Este tipo de lógica diría que $1=-1$, ya que sus valores absolutos son iguales.

Answer 3

Tú preguntas:

¿No sería la distancia de $0$ a $3i$ igual a $3i$, no $3$?

No, no exactamente, por la misma razón por la que la distancia de $3$ a $0$ no es $-3$. La distancia no es simplemente la diferencia, sino el valor absoluto de la diferencia.

Por supuesto, probablemente encuentres esto poco útil y circular. Hay algunas formas diferentes en las que puedes pensar en $|z|$:

• Longitud de la línea de $0$ a $z$ (nota que las longitudes siempre son positivas, sin importar si van a lo largo de los números reales positivos, negativos o en cualquier otra dirección del plano complejo)
• $\sqrt{z\bar z}$ (multiplicar por el conjugado complejo $\bar z$ lleva a cualquier número a los números reales positivos - es equivalente a la fórmula $\sqrt{x^2}$ de los números reales)
• el radio $r$ cuando el número se expresa como $r(\cos\theta+i\sin\theta)$, también conocido como forma polar
• el número real no negativo en el que "aterrizas" si giras el plano alrededor del origen para que tu punto termine en la parte no negativa del eje real

Pero todos estos están restringidos a ser positivos.

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Si el valor absoluto de un número complejo estuviera definido como $\sqrt{a^2 + (bi)^2}$, entonces comenzando en $z=3$ y "moviéndonos" hacia arriba a lo largo de la dirección imaginaria positiva disminuiría el valor absoluto. Si queremos que el valor absoluto mida la "distancia desde $0$" de alguna manera, ¡entonces alejarse más de $0$ haría que $\sqrt{a^2 + (bi)^2}$ sea un número más pequeño! Queremos que nuestro valor absoluto aumente cuando nos alejamos de $0$, no disminuya.

Queremos que nuestra definición de "valor absoluto" no cambie si rotamos el plano alrededor del origen, y queremos que el valor absoluto de un número real no negativo sea igual a sí mismo. Estas consideraciones hacen que nuestra única opción para la definición de $|z|$ sea $\sqrt{a^2 + b^2}$.

Answer 4

Cuando estamos tratando con un espacio de números, como una línea real unidimensional $\mathbb{R}$, un espacio real bidimensional $\mathbb{R}^2$, o el plano complejo $\mathbb{C}$, a menudo necesitamos un tipo de medida para comparar los elementos individuales. Este dispositivo de medición se llama una norma. Hasta ahora, has aprendido sobre las Normas Absoluta y Euclidiana. El propósito de una norma es asignar un valor positivo a cada número no nulo en el espacio (vectores, en realidad, pero no vamos a ser quisquillosos) y el valor de cero al elemento cero.

Para números reales en la línea numérica unidimensional $\mathbb{R}$, tiene sentido asignar el tamaño como el valor absoluto, $|x|=\sqrt{x^2}$, lo que nos da la distancia de un número desde cero.

En un espacio real bidimensional, como un plano donde tenemos pares ordenados $(x,y)$ asignados a cada punto, una norma intuitiva que coincide con nuestro sentido físico de la distancia está dada por el teorema de Pitágoras. $$||(x,y)|| = \sqrt{x^2+y^2}$$ Esta es la norma Euclidiana. No es la única norma con la que podríamos equipar $\mathbb{R}^2$, pero es la más utilizada. Casualmente, esta norma euclidiana se extiende para su uso en cualquier espacio real $n$-dimensional, $$||(x_1,x_2,\dots,x_n)|| = \sqrt{x^2+x_2^2+\dots+x_n^2}$$ y, hablando en términos generales, da la distancia del número desde el origen.

Para números complejos, también queremos crear una norma. Nuevamente, queremos algún dispositivo para comparar los tamaños de los números. Por definición, queremos que sea un dispositivo matemático que tome cualquier número complejo no nulo $z=x+iy$ y devuelva un número real positivo. La fórmula pitagórica casi proporciona esto, pero como viste, devolvería un número complejo. Eso no es bueno. Nuestra solución es definir a propósito la norma euclidiana para un plano complejo como

$$|z| = |x+iy| = \sqrt{(x+iy)(x-iy)} = \sqrt{x^2 + y^2}$$

Observa que tomamos un número complejo y devolvemos uno real no negativo. Eso es crucial. No hay noción de orden para los números complejos (¿es $i$ mayor que $1$, menor que, o igual a?), sin embargo, al devolver un número real, ahora podemos comparar tamaños.

Observa ahora lo similar que es comparar las magnitudes de los números en $\mathbb{R}^2$ y $\mathbb{C}$.

Answer 5

$$|z|^2=z\bar z\implies |4+3i|^2=(4+3i)(4-3i)=16+9=25\implies |4+3i|=5.$$