¿Cómo puedo ver que $E - \bigcup_{n \in \mathbb{N}} E_n$ es de medida cero?

Question

Para $n \in \mathbb{N}$ dejar $f_n$ sea una función no decreciente sobre $[a, b]$ . Supongamos que ambos $\sum_{n \in \mathbb{N}} f_n(a)$ y $\sum_{n \in \mathbb{N}}f_n(b)$ convergen y dejan que $f = \sum_{n \in \mathbb{N}} f_n$ en $[a, b]$ . Sea $A$ sea el conjunto de medida cero en $[a, b]$ formado por todos los puntos $x$ de manera que $f'(x)$ no existe o $f_n'(x)$ no existe para algunos $n \in \mathbb{N}$ . Para $n \in \mathbb{N}$ dejar $E_n$ sea el conjunto de puntos de $[a, b] - A$ donde $f_n'$ es distinto de cero y que $E$ sea el conjunto de puntos de $[a, b] - A$ donde $f'$ es distinto de cero.

Pregunta. ¿Cómo puedo ver que $E - \bigcup_{n \in \mathbb{N}} E_n$ es de medida cero?

Mis reflexiones sobre el problema hasta ahora son las siguientes. Supongamos lo contrario. Para obtener una contradicción, aplicar la técnica de cobertura de Vitali a los puntos $x$ de $E - \bigcup_{n \in \mathbb{N}} E_n$ donde $f'(x) > \alpha$ para algunos apropiados $\alpha > 0$ para construir intervalos abiertos disjuntos $(x, x + r)$ con $${{f(x + r) - f(x)}\over r} > \alpha$$ y $${{f_n(x + r) - f_n(x)}\over r} < \beta$$ para $n \le N$ para algunos apropiados $\beta > 0$ y algunos apropiados $N \in \mathbb{N}$ .

Sin embargo, necesito ayuda para llevar a cabo esto y rellenar los detalles. ¿Es posible que alguien pueda ayudarme a completar los detalles?

Answer 1

Supongamos que la medida exterior $m_*(E - \bigcup_{n \in \mathbb{N}} E_n)$ de $E - \bigcup_{n \in \mathbb{N}} E_n$ es $\delta > 0$ . Para $m \in \mathbb{N}$ dejar $S_m$ sea el conjunto de puntos $x$ en $E - \bigcup_{n \in \mathbb{N}} E_n$ con $x \neq b$ tal que $f'(x) > {1\over m}$ . Existen algunas $m \in \mathbb{N}$ tal que $m_*(S_m) \ge {\delta\over2}$ . Elija $N \in \mathbb{N}$ tal que $$f(b) - f(a) - \sum_{n = 1}^N (f_n(b) - f_n(a)) = \sum_{n = N + 1}^\infty (f_n(b) - f_n(a)) < {\delta\over{8m}}.$$ Para $x \in S_m$ existe $r_x > 0$ con $x + r_x < b$ tal que $${{f(x + r_x) - f(x)}\over{r_x}} > {1\over m}$$ y $${{f_n(x + r_x) - f_n(x)}\over{r_x}} < {\delta\over{8Nm(b - a)}}$$ para $1 \le n \le N$ . Mediante la técnica de cobertura de Vitali podemos encontrar un número finito de puntos $x_1, \ldots, x_k$ de $S_m$ tal que $(x_k, x_j + r_{x_j})$ son disjuntos para $1 \le j \le k$ y la medida total $\sum_{j = 1}^k r_j$ de $\bigcup_{j = 1}^k (x_j, x_j + r_{x_j})$ es $\ge {\delta\over3}$ . Por la elección de $r_x$ para un determinado $x$ sabemos que $${{f(x_j + r_{x_j}) - f(x_j)}\over{r_{x_j}}} > {1\over m} \text{ and } {{f_n(x_j + r_{x_j}) - f_n(x_j)}\over{r_{x_j}}} < {\delta\over{8Nm(b - a)}}$$ para $1 \le j \le k$ . Así, \begin{align*} {\delta\over{3m}} & \le \sum_{j = 1}^k (f(x_j + r_{x_j}) - f(x_j)) \\ & \le \sum_{n = N + 1}^\infty (f_n(b) - f_n(a)) + \sum_{n = 1}^N \sum_{j = 1}^k (f_n(x_j + r_{x_j}) - f_n(x_j)) \\ & \le {\delta\over{8m}} + N{\delta\over{8Nm(b - a)}} \sum_{j = 1}^k r_{x_j} \le {\delta\over{4m}},\end{align*} que es una contradicción.