Gavilla Descripción de G-Paquetes

Question

Ahora, entre algebraica de los geómetras, al menos, es bien sabido que hay una equivalencia entre localmente libre O_X-módulos de rango n y el vector de paquetes de rango n. Así, de manera equivalente, el director de GL(n,C)-los paquetes son dadas por el local libre de gavillas de rango n.

Así que...¿qué acerca de otros grupos? Supongo que SL(n,C) los paquetes se haga localmente libre de gavillas de rango n con el exterior superior poder trivial, pero podemos frase todo en términos de las propiedades de una gavilla y un grupo?

Mi conjetura es que, en este contexto, si podemos hacerlo, vamos a terminar con algo que no es localmente libre de gavillas de rango n de GL(n,C), pero que será equivalente.

Nota: soy consciente de que le pudiera decir algo así como "la gavilla de las secciones locales de la G-paquete", pero estoy buscando algo intrínseco, un conjunto de propiedades de la gavilla, sin hacer referencia a la geometría del paquete, que puede ser reconstruido a partir de la gavilla descripción.

Answer 1

$\newcommand{\S}{\mathcal{O}}\newcommand{\F}{\mathcal{F}} $La manera de conseguir un local libre gavilla de rango $n$ de $GL(n)$-torsor $P$ es por la torsión de la trivial de rango $n$ paquete de $\O^n$ (que tiene un natural $GL(n)$-acción) por el torsor. Explícitamente, el local libre gavilla es de $\F=\O^n\times^{GL(n)}P$, cuyo (esquema de la teoría de la) puntos $(v,p)$, donde $v$ es un punto de la trivial y paquete de $p$ es un punto de $P$, sujeto a la relación $(v\cdot g,p)\sim (v,g\cdot p)$. Por el contrario, dado un localmente libre gavilla $\F$ de rango $n$, la gavilla $Isom(\O^n,\F)$ es un $GL(n)$ torsor, y este procedimiento es inverso a la $P\mapsto \O^n\times^{GL(n)}P$ procedimiento anterior. (Nota: yo soy la identificación de espacios sobre la base de $X$, con sus gavillas de secciones, tanto con respecto a $Isom(\O^n,\F)$ como un torsor y por sobre $\O^n\times^{GL_n}P$ como un localmente libre de gavilla.)

Del mismo modo, si usted tiene un grupo $G$ y una representación $V$, entonces usted puede asociar a ninguna de $G$-torsor $P$ localmente libre gavilla de rango $\dim(V)$, es decir $V\times^G P$. Pero no sé de una caracterización de lo que localmente libre de gavillas de rango $\dim(V)$ surgir en este camino.

Operaciones con el local libre gavilla (como la toma de la parte superior exterior de la energía, o por cualquier otra operación que se define básicamente fiberwise y muestra de la cola) corresponden a hacer que la operación con la representación $V$, así que creo que tienes razón que en el caso de $SL(n)$ se obtiene exactamente aquellos localmente libre de poleas en cuya parte superior se potencia exterior es trivial (desde $SL(n)$ ha no-trivial 1-representaciones tridimensionales).

Answer 2

Si G es un afín algebraica de grupo, un G-paquete es el mismo que el de un monoidal functor de la G-reps coherente de las poleas. El mapa es una manera de tomar asociados paquete, el otro consiste en la reconstrucción de la estructura de la gavilla de la G-lote de los asociados. Aproximadamente, se piensa en las funciones en el grupo como un anillo ind-objeto en la categoría de representaciones, y tomar la correspondiente anillo objeto en cuasi coherente de las poleas. La Especificación de esta gavilla de los anillos es el G-bundle.

Para GL(n), estas de suerte, ya que su categoría tiene una simple descripción: es (básicamente) la libre categoría monoidal con un único generador de dimensión n. Otros grupos son un poco más complicado, pero no mucho peor.

Answer 3

La adición de modo que es fácil de encontrar. De lo que yo estaba buscando, que no es generalmente escrito, excepto en el caso de vector de paquetes, es que la gavilla de las secciones de un F-bundle con fibra de F es un haz de conjuntos que es localmente isomorfo en el etale topología de la gavilla hom(-,F) que van más pequeñas suficiente abrir los subconjuntos de X.