Problema de competencia matemática, demostrar que $\int_{-\infty}^\infty e^{-\pi x^2 \left(\frac{\alpha +x}{\beta +x}\right)^2}dx=1~$ para $~0<\beta<\alpha$

Question

Recientemente hubo un concurso de matemáticas en nuestra universidad donde esta pregunta

Pregunta: Demostrar que $\displaystyle\int_{-\infty}^\infty e^{-\pi x^2 \left(\frac{\scriptstyle\alpha +x}{\scriptstyle\beta +x}\right)^2}dx=1~$ para $~0<\beta<\alpha$

se ha preguntado, pero nadie ha podido resolverlo. Sé que $$ \int_{-\infty}^\infty e^{-\pi x^2}dx=1 $$ pero esto no ayuda mucho. ¿Cuáles son las posibles vías para tratar este tipo de integrales? ¿Algún experto en integración tiene alguna idea de cómo se hace esto? Gracias.

Answer 1

Se puede escribir $$ x \left(\frac{\alpha +x}{\beta +x}\right)=x-\frac{(\alpha-\beta)\beta}{x+\beta}+\alpha-\beta \tag1 $$ entonces, ya que $(\alpha-\beta)\beta>0$ se puede utilizar el G. Boole (1857) resultado,

$$ \int_{-\infty}^{+\infty}f\left(x-\frac{a}{x-b}\right)\mathrm{d}x=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\: \mathrm{d}x,\qquad a>0. \tag2 $$

dando, con $(1)$ , $$ \begin{align} \int_{-\infty}^\infty e^{-\pi x^2 \left(\frac{\scriptstyle\alpha +x}{\scriptstyle\beta +x}\right)^2}dx&=\int_{-\infty}^\infty e^{-\pi \left(x-\frac{(\alpha-\beta)\beta}{x+\beta}+\alpha-\beta \right)^2}dx \\\\&=\int_{-\infty}^\infty e^{-\pi \left(x+\alpha-\beta \right)^2}dx \\\\&=\int_{-\infty}^\infty e^{-\pi x^2}dx \\\\&=1 \end{align} $$ como se anunció.